12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
A Hamiltoniana H é obtida a partir da Lagrangiana L por meio de:
Gabarito: B) Uma transformação de Legendre, que troca a dependência em q̇ por uma dependência no momento conjugado p
A passagem de L(q,q̇,t) para H(q,p,t) é uma transformação de Legendre na variável q̇.
A definição geral da Hamiltoniana em termos da Lagrangiana e dos momentos conjugados p_i é:
Gabarito: B) H = Σ p_i q̇_i − L
Por definição da transformação de Legendre, H = Σ p_i q̇_i − L.
Para um sistema conservativo em que as coordenadas generalizadas não dependem explicitamente do tempo (vínculos escleronômicos) e o potencial não depende da velocidade, a Hamiltoniana coincide com:
Gabarito: C) A energia mecânica total, H = T + V
Nessas condições, T é quadrática em q̇ e o teorema de Euler para funções homogêneas garante Σp_i q̇_i = 2T, logo H = 2T − L = 2T − (T−V) = T+V.
As equações canônicas de Hamilton para uma coordenada q e seu momento conjugado p são:
Gabarito: B) q̇ = ∂H/∂p e ṗ = −∂H/∂q
As equações canônicas de Hamilton são q̇ = ∂H/∂p e ṗ = −∂H/∂q.
Para uma coordenada generalizada q e velocidade generalizada q̇, a equação de Euler-Lagrange correta é:
Gabarito: A) d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0
A equação de Euler-Lagrange, obtida do princípio de Hamilton, é d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0.
O princípio do trabalho virtual, base do princípio de D'Alembert, refere-se a deslocamentos virtuais δq_i que são:
Gabarito: B) Deslocamentos infinitesimais, imaginários, compatíveis com os vínculos, realizados instantaneamente (sem decorrer tempo) e sem violar os vínculos
Deslocamentos virtuais são hipotéticos, infinitesimais, instantâneos (δt=0) e compatíveis com os vínculos no instante considerado.
Para a Lagrangiana do sistema massa-mola L = (1/2) m ẋ² − (1/2) k x², o momento conjugado à coordenada x é:
Gabarito: B) p = m ẋ
p = ∂L/∂ẋ = m ẋ.
Considere a Lagrangiana de uma partícula em coordenadas polares sujeita a um potencial central, L = (1/2) m (ṙ² + r² θ̇²) − V(r). Qual coordenada generalizada é cíclica (ignorável) neste sistema?
Gabarito: B) θ
θ não aparece explicitamente em L (apenas θ̇ aparece), logo θ é cíclica; r aparece explicitamente através de r²θ̇² e V(r), logo não é cíclica.
Uma conta de massa m desliza sem atrito em um aro circular de raio R que gira com velocidade angular constante ω em torno de um eixo vertical. Usando θ (ângulo medido a partir do ponto mais baixo do aro) como coordenada generalizada, a energia cinética da conta é:
Gabarito: B) T = (1/2) m R² (θ̇² + ω² sen²θ)
A velocidade tem uma componente meridional Rθ̇ (ao longo do aro) e uma componente azimutal ωR senθ (devido à rotação), ortogonais entre si, dando T = (1/2)mR²(θ̇² + ω² sen²θ).
Uma partícula de massa m desliza sem atrito sobre um plano inclinado de ângulo α fixo, com s medindo a distância percorrida ao longo do plano a partir do topo. A Lagrangiana do sistema é:
Gabarito: B) L = (1/2) m ṡ² + m g s sen α
A altura perdida ao descer uma distância s ao longo do plano é s senα, logo V = −mgs senα (referência no topo) e L = T − V = (1/2)mṡ² + mgs senα.
Para uma partícula sob força central, com Lagrangiana L = (1/2) m (ṙ² + r² θ̇²) − V(r), a Lagrangiana é invariante sob rotações em torno do eixo perpendicular ao plano do movimento (θ não aparece explicitamente em L). Pelo teorema de Noether, essa simetria de rotação está associada à conservação de:
Gabarito: B) O momento angular p_θ = m r² θ̇
A invariância rotacional da Lagrangiana (θ cíclica) implica, pelo teorema de Noether, a conservação do momento angular p_θ = mr²θ̇.
Ao escrever as equações de Euler-Lagrange para os dois ângulos θ1 e θ2 de um pêndulo duplo, o resultado característico é:
Gabarito: B) Duas equações diferenciais acopladas e não lineares, em que a aceleração de cada ângulo depende de ambos os ângulos, de ambas as velocidades angulares e de termos trigonométricos cruzados
Devido ao termo de energia cinética cruzado (dependente de cos(θ1−θ2)) entre as duas hastes, as equações de Euler-Lagrange do pêndulo duplo são necessariamente acopladas e não lineares.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU