12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Um corpo (K,+,×) é definido como:
Gabarito: E) Um anel comutativo com unidade (1≠0) no qual todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo
Definição padrão de corpo: anel comutativo com unidade em que todo elemento não nulo é invertível. A alternativa D é contraditória, pois a definição usual de domínio de integridade já exige comutatividade. A alternativa B viola o axioma de corpo que exige 1≠0.
Um anel (A,+,×) é dito comutativo quando:
Gabarito: A) a×b = b×a para todos a,b ∈ A
A comutatividade de um anel refere-se à multiplicação, pois a adição já é sempre comutativa por ser (A,+) um grupo abeliano — a alternativa B sempre vale em qualquer anel e não é o que distingue um anel comutativo. A alternativa C define anel com unidade, conceito distinto e independente de comutatividade.
O conjunto M2(ℝ) das matrizes 2×2 com entradas reais, com as operações usuais de soma e produto de matrizes, forma um anel que é:
Gabarito: D) Não comutativo, pois em geral A×B ≠ B×A para matrizes A,B
O produto de matrizes não é comutativo em geral, sendo fácil encontrar contraexemplos 2×2. A alternativa B é falsa, pois matrizes singulares (determinante zero) não são invertíveis. A alternativa C também é falsa: existem matrizes não nulas cujo produto resulta na matriz nula, ou seja, M2(ℝ) possui divisores de zero.
Um anel (A,+,×) é chamado anel com unidade quando:
Gabarito: B) Existe elemento 1 ∈ A, 1≠0, tal que 1×a = a×1 = a para todo a ∈ A
A definição de anel com unidade exige apenas a existência do elemento identidade multiplicativa 1≠0. A alternativa A descreveria algo próximo de um corpo, exigindo mais do que a simples existência de unidade. A alternativa E é falsa: em qualquer anel, 0×a=0, nunca a (salvo o caso trivial a=0).
Dentre os conjuntos numéricos abaixo com as operações usuais de soma e produto, qual NÃO é um corpo?
Gabarito: A) ℤ (inteiros)
ℤ não é corpo, pois, por exemplo, 2 não possui inverso multiplicativo inteiro. As alternativas B, C e D são corpos infinitos clássicos, e a alternativa E é corpo finito, pois 5 é primo.
No grupo simétrico S3 (permutações de {1,2,3}), qual é a ordem de S3?
Gabarito: E) 6
|S3| = 3! = 6, o número de permutações de 3 elementos. A alternativa B confunde com 3² e a alternativa D com 3³, erros comuns ao supor crescimento exponencial em vez de fatorial.
Uma função φ: G → H entre grupos (G,*) e (H,∘) é um homomorfismo de grupos quando, para todos a,b ∈ G:
Gabarito: A) φ(a*b) = φ(a) ∘ φ(b)
Um homomorfismo preserva a operação aplicando a operação de H (∘) ao resultado — a alternativa B erra ao usar a operação de G no lado direito. A alternativa C descreve injetividade e a alternativa D descreve sobrejetividade; nenhuma das duas é exigida na definição geral de homomorfismo.
O anel ℤp (inteiros módulo p) é um corpo se, e somente se:
Gabarito: B) p é um número primo
Quando p é primo, todo elemento não nulo de ℤp possui inverso multiplicativo (consequência de mdc(a,p)=1 e da Identidade de Bézout), tornando ℤp um corpo. A alternativa C inclui números compostos, que geram divisores de zero e elementos sem inverso, portanto ℤp não seria corpo nesses casos.
No anel ℤ6 = {0,1,2,3,4,5} com operações módulo 6, qual par de elementos não nulos evidencia que ℤ6 possui divisores de zero?
Gabarito: A) 2 e 3, pois 2×3=6≡0 (mod 6)
2×3=6≡0 (mod 6), com 2≠0 e 3≠0, evidenciando que ambos são divisores de zero em ℤ6. Nos pares das alternativas B, C, D e E, o produto módulo 6 não resulta em 0, portanto não evidenciam divisores de zero.
Qual é o inverso multiplicativo de 3 módulo 7, isto é, o valor x ∈{0,...,6} tal que 3x≡1 (mod 7)?
Gabarito: D) 5
3×5=15=2×7+1≡1 (mod 7), logo o inverso de 3 módulo 7 é 5. Testando a alternativa B: 3×2=6≢1 (mod 7). Testando a alternativa C: 3×4=12≡5 (mod 7), também incorreto.
Seja G = ℤ6 = {0,1,2,3,4,5} sob adição módulo 6. Qual é o subgrupo cíclico gerado pelo elemento 4, ⟨4⟩?
Gabarito: B) {0,2,4}
⟨4⟩ = {4, 4+4=8mod6=2, 4+4+4=12mod6=0} = {0,2,4}, subgrupo de ordem 3 (mdc(4,6)=2, ordem=6/2=3). A alternativa A interrompe a soma cedo demais, sem fechar o subgrupo. A alternativa E é, na verdade, o subgrupo gerado por 3, não por 4.
Pelo Teorema de Lagrange, se H é um subgrupo de um grupo finito G, então:
Gabarito: C) |H| divide |G|
O Teorema de Lagrange afirma que a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo finito. A alternativa A inverte incorretamente essa relação de divisibilidade. A alternativa B só é verdadeira no caso trivial H=G.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU