Questões de Análise Matemática

Gabarito: A) 3

sup A = 3, pois 3 é a menor cota superior de A: nenhum número menor que 3 é cota superior (sempre há elementos de A entre ele e 3), e 3 é cota superior mesmo não pertencendo a A. O supremo NÃO precisa pertencer ao conjunto — essa é justamente a diferença entre supremo e máximo. B é o ínfimo, não o supremo. C está errada porque a definição de supremo não exige que ele pertença ao conjunto. D está errada pois 5/2 não é cota superior (existem elementos de A maiores que 5/2, como 2,9). E está errada: a propriedade do supremo vale para qualquer conjunto limitado superiormente, aberto ou fechado.

Gabarito: D) Todo subconjunto não vazio de ℝ limitado superiormente possui supremo em ℝ

Essa é exatamente a formulação do axioma (ou propriedade) do supremo: todo subconjunto não vazio de ℝ que é limitado superiormente possui uma menor cota superior (supremo) em ℝ. É essa propriedade que torna ℝ um corpo ordenado completo. A está errada: por exemplo, (0,1) não tem máximo. B está errada: ℚ não é completo, como mostra o conjunto {q ∈ ℚ : q² < 2}. C está errada: sequências não monótonas ou não de Cauchy podem divergir (ex.: (−1)ⁿ). E está errada: ℝ é aberto e ilimitado.

Gabarito: B) ∀ε>0, ∃N∈ℕ tal que ∀m,n>N, |aₙ − aₘ| < ε

A definição de sequência de Cauchy exige que os termos fiquem arbitrariamente próximos ENTRE SI (não necessariamente de um limite L conhecido a priori) à medida que os índices crescem: para todo ε>0 existe N tal que, para todos m,n>N, |aₙ−aₘ|<ε. A está errada: nada obriga o limite a ser 0. C descreve outra condição suficiente para convergência (teorema da sequência monótona), não a definição de Cauchy. D é irrelevante à definição. E descreve uma consequência do Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequências limitadas, não a definição de Cauchy.

Gabarito: A) ∀ε>0, ∃N∈ℕ tal que ∀n>N, |aₙ − L| < ε

A definição correta exige que, para CADA ε>0 dado (por menor que seja), seja possível encontrar um N (que pode depender de ε) a partir do qual todos os termos da sequência distam de L menos que ε. B inverte a ordem dos quantificadores, fixando um único ε que funcionaria para todo N, o que é uma condição muito mais fraca e sem sentido para definir convergência. C também inverte a ordem, tornando a afirmação trivial (bastaria um ε grande). D exige que a desigualdade valha para todo N, mesmo os pequenos, o que geralmente é impossível. E exigiria convergência para uma sequência eventualmente constante, caso particular e não a definição geral.

Gabarito: E) Existe M > 0 tal que |x| ≤ M para todo x ∈ A

Por definição, A é limitado quando existe M > 0 (ou, equivalentemente, quando A é limitado superior e inferiormente) tal que todos os seus elementos satisfazem |x| ≤ M. A está errada: conjuntos infinitos podem ser limitados, como (0,1). B está errada: limitação não tem relação direta com o número de pontos de acumulação (ℤ é ilimitado e tem zero pontos de acumulação; (0,1) é limitado e tem infinitos). C está errada: (0,1) é limitado sem ser fechado. D está errada: ℕ é enumerável mas ilimitado.

Gabarito: B) 1/2

Os termos de índice par são 1/2, 1/4, 1/6, ... (positivos, decrescendo para 0) e os de índice ímpar são −1, −1/3, −1/5, ... (negativos, crescendo para 0). O maior valor efetivamente atingido pela sequência é 1/2 (em n=2); como nenhum outro termo o supera, 1/2 é cota superior e, por ser atingido, é a menor cota superior possível — logo sup B = 1/2 (que aqui é também máximo). B está limitado (D é o ínfimo, atingido em n=1). 0 (alternativa A) é apenas o valor para o qual a sequência converge, não é cota superior de todos os termos positivos. 1 (C) é cota superior, mas não a menor. E está errada pois B é limitado (está contido em [−1, 1/2]).

Gabarito: C) √2

C é limitado superiormente (por exemplo, por 2), logo, pela propriedade do supremo em ℝ, existe sup C, e esse valor é √2. Este é o exemplo clássico que mostra a diferença entre ℚ e ℝ: dentro de ℚ, o conjunto C não possui supremo (não existe racional que seja a menor cota superior racional), o que mostra que ℚ NÃO é completo; já em ℝ, o supremo existe e vale √2 — é exatamente essa propriedade (completude) que distingue ℝ de ℚ. A está errada: 1,5² = 2,25 > 2, é cota superior mas não a menor. B está errada, pois C é limitado por 2. D está errada pelo mesmo motivo de A. E inverte a situação real: o supremo existe em ℝ, não em ℚ.

Gabarito: C) Toda sequência convergente é de Cauchy, e em ℝ vale a recíproca, pois ℝ é completo

Em qualquer espaço métrico, toda sequência convergente é de Cauchy; a recíproca (toda sequência de Cauchy converge) só vale em espaços completos, e ℝ é completo — essa equivalência é uma das formas de expressar a completude de ℝ. A está errada: (−1)ⁿ é limitada e não converge. B está errada: (−1)ⁿ/n converge para 0 sem ser monótona. D está errada: uma sequência de Cauchy pode oscilar (não ser monótona) enquanto se aproxima do limite. E está errada: uma sequência monótona só converge se também for limitada (ex.: aₙ=n é monótona crescente e diverge).

Gabarito: E) ℕ não é limitado superiormente, logo não possui supremo em ℝ

Pela propriedade arquimediana de ℝ (consequência da completude), ℕ não é limitado superiormente: para qualquer real M, existe n ∈ ℕ com n > M. Assim, a hipótese da propriedade do supremo ("limitado superiormente") não se aplica, e ℕ não possui supremo em ℝ. A está errada pelo argumento acima. B está errada: ∞ não é um número real, não pertence a ℝ. C está errada: inf ℕ = 1 (o menor elemento), não 0. D está errada e é vaga — não existe tal supremo finito.

Gabarito: B) sup S = 1, mas 1 ∉ S (S não possui elemento máximo)

Todo termo satisfaz 1 − 1/n < 1, então 1 é cota superior de S. É a menor cota superior porque, dado qualquer ε>0, existe n suficientemente grande tal que 1 − 1/n > 1 − ε, ou seja, nenhum número menor que 1 é cota superior. Porém, para nenhum n natural temos 1 − 1/n = 1, logo o supremo não é atingido: S não tem máximo. Este é o exemplo clássico de supremo que não pertence ao conjunto. A está errada porque não existe elemento de S igual a 1. C não faz sentido, pois "o maior n possível" não existe (n pode crescer indefinidamente). D está errada: inf S = 0, atingido em n=1. E está errada, pois S é limitado por 1.

Gabarito: A) inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B

Como A ⊆ B, toda cota superior de B também é cota superior de A, logo sup A ≤ sup B; analogamente, toda cota inferior de B é cota inferior de A, logo inf B ≤ inf A. Além disso, como A é não vazio, inf A ≤ sup A. Reunindo as três desigualdades obtemos inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. B está errada (a desigualdade correta é sup A ≤ sup B, não ≥). C está errada (a desigualdade correta é inf B ≤ inf A, e a igualdade é perfeitamente possível, por exemplo quando A=B). D está errada, pois a relação de inclusão sempre impõe essas desigualdades. E está errada: a igualdade só ocorre em casos particulares (por exemplo A=[0,1], B=[0,2], sup A=1≠2=sup B).

Gabarito: D) sup(−A) = −inf A

Para todo x ∈ A vale x ≥ inf A, logo −x ≤ −inf A para todo −x ∈ −A; assim −inf A é cota superior de −A. Além disso, essa cota é a menor possível: se M < −inf A fosse cota superior de −A, então −M > inf A seria cota inferior de A maior que inf A, contradizendo a definição de ínfimo. Logo sup(−A) = −inf A (e, simetricamente, inf(−A) = −sup A). A, B e C descrevem relações incorretas (por exemplo, tome A=[1,3]: inf A=1, sup A=3, −A=[−3,−1], sup(−A)=−1=−inf A, confirmando D e refutando as demais). E está errada porque a relação é exata e necessária, não arbitrária.