12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Uma variável aleatória discreta X assume os valores 1, 2 e 3 com probabilidades 0,2, 0,3 e 0,5, respectivamente. Qual é o valor esperado E(X)?
Gabarito: D) 2,3
E(X) = 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,5 = 0,2+0,6+1,5 = 2,3. Calcular a média aritmética simples dos valores, (1+2+3)/3=2,0, ignora as probabilidades — erro comum de confundir esperança com média não ponderada.
Uma variável aleatória X segue distribuição Uniforme contínua no intervalo [2, 8]. Qual é o valor de E(X)?
Gabarito: D) 5
Para a distribuição Uniforme em [a,b], E(X) = (a+b)/2 = (2+8)/2 = 5. Usar apenas o limite superior (8) ou apenas o inferior (2) não corresponde à média correta.
Uma variável aleatória X segue distribuição Normal com média μ = 50 e desvio padrão σ = 10. Qual é o escore z correspondente a X = 60?
Gabarito: E) 1
z = (X−μ)/σ = (60−50)/10 = 1. Esquecer de dividir pelo desvio padrão, ficando apenas com a diferença (X−μ)=10, é o erro mais comum.
Uma variável aleatória X segue distribuição Exponencial com taxa (parâmetro) λ = 0,5. Qual é o valor esperado E(X)?
Gabarito: A) 2
Para a distribuição Exponencial, E(X) = 1/λ = 1/0,5 = 2. Confundir E(X) com o próprio parâmetro λ (0,5) é o erro mais comum.
Por que a variância amostral s² é calculada dividindo a soma dos quadrados dos desvios por (n−1), em vez de n?
Gabarito: B) Para que s² seja um estimador não-viesado da variância populacional
Dividir por (n−1), a chamada correção de Bessel, compensa o fato de que os desvios são calculados em relação à média amostral (e não à populacional), tornando E(s²) = σ² um estimador não-viesado. Dividir por n produziria um estimador ligeiramente viesado, que subestima σ² em média.
Se P(A|B) = P(A) para dois eventos A e B com P(B) > 0, o que se pode concluir?
Gabarito: A) A e B são independentes
Quando o conhecimento de B não altera a probabilidade de A, isto é, P(A|B)=P(A), por definição A e B são independentes, o que também implica P(A∩B)=P(A)P(B). Mutuamente exclusivos exigiria P(A∩B)=0, o que geralmente não ocorre entre eventos independentes de probabilidades positivas.
Uma doença atinge 1% de uma população. Um teste diagnóstico tem sensibilidade de 90% (detecta corretamente 90% dos doentes) e especificidade de 95% (identifica corretamente 95% dos sadios). Se uma pessoa testar positivo, qual é a probabilidade aproximada de que ela realmente tenha a doença?
Gabarito: D) ≈15,4%
Pelo Teorema de Bayes: P(D)=0,01, P(+|D)=0,9, P(+|Dᶜ)=0,05. P(+) = 0,9×0,01 + 0,05×0,99 = 0,0585. P(D|+) = 0,009/0,0585 ≈ 0,154 = 15,4%. Confundir esse valor com a sensibilidade (90%) é o erro mais comum, pois ignora a baixa prevalência da doença.
Uma urna A contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis; uma urna B contém 1 bola vermelha e 4 azuis. Escolhe-se uma urna ao acaso (probabilidade 1/2 cada) e retira-se uma bola. Qual é a probabilidade de a bola retirada ser vermelha?
Gabarito: E) 0,4
Pela regra da probabilidade total: P(V) = P(A)P(V|A) + P(B)P(V|B) = 0,5×0,6 + 0,5×0,2 = 0,3+0,1 = 0,4. O valor 0,6 corresponde apenas à urna A e 0,2 apenas à urna B, ignorando a ponderação pelas probabilidades de escolha da urna.
Uma variável aleatória X segue distribuição de Poisson com λ = 2. Qual é o valor aproximado de P(X = 0)?
Gabarito: C) ≈0,1353
P(X=0) = e^(−λ)×λ⁰/0! = e^(−2) ≈ 0,1353. O valor ≈0,2707 corresponde a P(X=1) = 2e^(−2), um erro comum de confundir termos consecutivos da distribuição.
Uma variável aleatória X segue distribuição Normal com μ = 100 e σ = 15. Usando a tabela da Normal padrão, qual é aproximadamente P(X < 115)?
Gabarito: D) ≈0,8413
Padronizando: z = (115−100)/15 = 1. Da tabela Normal padrão, P(Z<1) ≈ 0,8413. O valor ≈0,1587 é P(Z>1) = 1−0,8413, o complementar, confundido por erro de interpretação da tabela.
Três máquinas M1, M2 e M3 produzem, respectivamente, 50%, 30% e 20% dos itens de uma fábrica, com taxas de defeito de 2%, 3% e 5%. Um item escolhido ao acaso é defeituoso. Qual é a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina M3?
Gabarito: B) ≈34,5%
P(defeito) = 0,5×0,02+0,3×0,03+0,2×0,05 = 0,01+0,009+0,01 = 0,029. P(M3|defeito) = 0,01/0,029 ≈ 0,345 = 34,5%. Confundir com a proporção de produção de M3 (20%) ou com sua taxa de defeito isolada (5%) ignora o Teorema de Bayes.
Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Duas bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha, dado que a primeira foi branca?
Gabarito: C) 5/7
Após retirar uma bola branca sem reposição, restam 5 vermelhas e 2 brancas, totalizando 7 bolas. Logo, P(2ª vermelha | 1ª branca) = 5/7. O valor 5/8 ignora que a urna já perdeu uma bola, um erro de não atualizar o espaço amostral após a primeira retirada.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU