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Como resolver questões de Álgebra Linear
Matrizes, determinantes, sistemas lineares, espaços e subespaços vetoriais, transformações lineares e autovalores/autovetores. As questões costumam pedir para resolver sistemas, verificar se um conjunto é subespaço ou calcular autovalores de uma matriz.
Conceitos-chave
- Determinante
2×2: para[[a,b],[c,d]],det = ad − bc - Sistema linear: pode ser resolvido por escalonamento (eliminação de Gauss) ou por Cramer (se o sistema for quadrado e
det≠0) - Espaço vetorial: conjunto com soma e multiplicação por escalar satisfazendo axiomas de fechamento, associatividade, elemento neutro etc.
- Subespaço vetorial: subconjunto não vazio de um espaço vetorial, fechado para soma e multiplicação por escalar, e que contém o vetor nulo
- Transformação linear
T: V→WsatisfazT(u+v) = T(u)+T(v)eT(c·u) = c·T(u) - Autovalor
λe autovetorv(v≠0) de uma matrizA:Av = λv - Polinômio característico: obtido de
det(A − λI) = 0; suas raízes são os autovalores deA
Passo a passo
- Identifique a natureza do problema: sistema linear, propriedade de subespaço, transformação linear, ou autovalores/autovetores.
- Para sistemas, monte a matriz aumentada e escalone (Gauss-Jordan), ou use Cramer se a matriz principal for quadrada e invertível (
det≠0). - Para verificar se um conjunto é subespaço, teste na ordem: contém o vetor nulo? é fechado para soma? é fechado para multiplicação por escalar? — os três precisam valer.
- Para transformação linear, verifique
T(u+v)=T(u)+T(v)eT(cu)=cT(u), ou representeTpor uma matriz aplicada aos vetores. - Para autovalores, monte
det(A−λI)=0e resolva a equação polinomial resultante (polinômio característico). - Para cada autovalor
λencontrado, substitua em(A−λI)v=0e resolva o sistema homogêneo para achar os autovetores associados. - Confira multiplicando
Apelo autovetor encontrado e comparando o resultado comλ·v.
Exemplo resolvido
Enunciado: Encontre os autovalores da matriz A = [[4, 1], [2, 3]].
- Montamos
A−λI = [[4−λ, 1],[2, 3−λ]], subtraindoλapenas da diagonal principal. - O determinante dessa matriz precisa ser zero:
det(A−λI) = (4−λ)(3−λ) − 1·2 = 0. - Expandindo o produto
(4−λ)(3−λ):12 − 4λ − 3λ + λ² = λ² − 7λ + 12. - Subtraindo o termo
1·2 = 2, chegamos ao polinômio característico:λ² − 7λ + 12 − 2 = λ² − 7λ + 10 = 0. - Resolvendo por Bhaskara:
Δ = (−7)² − 4·1·10 = 49 − 40 = 9. - As raízes são
λ = (7 ± √(9))/2 = (7 ± 3)/2, ou seja,λ = 5ouλ = 2. - Verificação pela soma: traço de
A(soma da diagonal) =4+3=7, e5+2=7✓. - Verificação pelo produto:
det(A) = 4·3−1·2=10, e5·2=10✓.
Resposta: λ = 5 e λ = 2
Dicas e pegadinhas
- Determinante
2×2éad − bc, com sinal de subtração — trocar por soma é um erro comum. - Ao montar
A−λI, subtraiaλapenas dos elementos da diagonal principal, nunca dos demais. - O sistema
(A−λI)v=0sempre admite a solução trivialv=0; o autovetor precisa ser explicitamente não-nulo. - Nem toda matriz real tem todos os autovalores reais — eles podem ser complexos, especialmente em matrizes não simétricas.