12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Qual é o determinante da matriz triangular A = [2, 5, 7 ; 0, 3, 1 ; 0, 0, 4]?
Gabarito: B) 24
Para matrizes triangulares (todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são nulos), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: 2×3×4 = 24. Erro comum: somar os elementos da diagonal (2+3+4=9, alternativa D) em vez de multiplicá-los.
Uma matriz quadrada A é chamada simétrica quando:
Gabarito: A) A = Aᵀ
Por definição, A é simétrica quando é igual à sua transposta, isto é, A_{ij} = A_{ji} para todos i, j. Erro comum: confundir com matriz antissimétrica (A = −Aᵀ, alternativa B) ou com matriz ortogonal (A×Aᵀ = I, alternativa C).
Resolva o sistema: x + y = 7 ; x - y = 1. Qual é o valor de x?
Gabarito: A) 4
Somando as duas equações: 2x = 8, logo x = 4 (e y = 3). Erro comum: confundir x com y e responder 3 (alternativa B).
O vetor nulo (0) pertence a:
Gabarito: D) Todo subespaço vetorial
Por definição, todo subespaço vetorial deve conter o vetor nulo do espaço ambiente; é uma condição necessária para que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar (0×v=0). Erro comum: achar que o vetor nulo só pertence ao espaço trivial {0} (alternativa E).
Qual é a dimensão do espaço vetorial R³?
Gabarito: B) 3
A dimensão de R³ é 3, pois sua base canônica {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} possui exatamente 3 vetores linearmente independentes. Erro comum: confundir dimensão com o número de entradas de uma matriz associada (9, alternativa D).
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, com det(A) = 3 e det(B) = 5. Qual é o valor de det(AB)?
Gabarito: E) 15
Uma propriedade fundamental dos determinantes é det(AB) = det(A)×det(B) = 3×5 = 15. Erro comum: somar os determinantes em vez de multiplicá-los, obtendo 8 (alternativa A).
Os vetores u = (1, 2) e v = (2, 4) são linearmente:
Gabarito: E) Dependentes, pois v = 2u
Como v = (2,4) = 2×(1,2) = 2u, um vetor é múltiplo escalar do outro, portanto {u,v} é linearmente dependente. Erro comum: inverter a relação e afirmar que u=2v (alternativa D), quando na verdade é v que é o dobro de u.
Resolva o sistema por escalonamento: x + y + z = 6 ; 2x - y + z = 3 ; x + 2y - z = 2. Qual é o valor de y?
Gabarito: B) 2
Escalonando: da 1ª equação, x = 6−y−z. Substituindo na 2ª: 12−3y−z=3 ⟹ 3y+z=9. Substituindo na 3ª: 6+y−2z=2 ⟹ y=2z−4. Combinando: 3(2z−4)+z=9 ⟹ 7z=21 ⟹ z=3, y=2, x=1. Erro comum: trocar os valores de x e y, respondendo 1 (alternativa A).
Calcule o determinante de A = [2, 1, 0 ; 1, 3, 1 ; 0, 1, 2] pela regra de Sarrus.
Gabarito: D) 8
Expandindo pela primeira linha: det = 2(3×2 − 1×1) − 1(1×2 − 1×0) + 0(1×1 − 3×0) = 2(5) − 1(2) + 0 = 10 − 2 = 8. Erro comum: esquecer de subtrair o segundo termo, obtendo 10 (alternativa A).
Escreva w = (3, 2) como combinação linear de u = (1, 0) e v = (1, 1), isto é, w = a·u + b·v. Qual é o valor de a?
Gabarito: A) 1
a·u + b·v = (a+b, b) = (3,2). Da segunda coordenada, b=2. Substituindo na primeira: a+2=3, logo a=1. Erro comum: confundir a com b e responder 2 (alternativa B).
Quais são os autovalores da matriz triangular A = [2, 3, 5 ; 0, 4, 7 ; 0, 0, 6]?
Gabarito: E) 2, 4, 6
Para matrizes triangulares (superiores ou inferiores), os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal, pois det(A-λI) = (2-λ)(4-λ)(6-λ). Assim, os autovalores são 2, 4 e 6. Erro comum: incluir elementos fora da diagonal principal, como 7 (alternativa D), que não são autovalores.
Se A é uma matriz invertível com det(A) = 4, qual é o valor de det(A⁻¹)?
Gabarito: C) 1/4
Como A×A⁻¹ = I, tem-se det(A)×det(A⁻¹) = det(I) = 1, logo det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4. Erro comum: pensar que det(A⁻¹) é igual a det(A) (alternativa A), ignorando a relação inversa entre os dois.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU