BENSHUUMatemática · Cálculo
Como resolver questões de Cálculo I
Cobre limites, continuidade e derivadas de funções de uma variável, incluindo regras de derivação, taxas de variação e problemas de otimização (máximos e mínimos). As questões costumam pedir cálculo direto de limites/derivadas ou a aplicação desses conceitos em problemas de otimização.
Conceitos-chave
- Limite:
lim(x→a) f(x) = Lsignifica quef(x)se aproxima deLquandoxse aproxima dea - Limites fundamentais:
lim(x→0) (sen(x))/x = 1;lim(x→∞) (1+1/x)^x = e - Continuidade em
x=a:fé contínua selim(x→a) f(x) = f(a) - Derivada:
f'(x) = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h, representa a taxa de variação instantânea - Regras de derivação:
(x^n)' = n·x^(n-1);(f·g)' = f'g+fg';(f/g)' = (f'g - fg')/g²; regra da cadeia:(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) - Pontos críticos: onde
f'(x)=0ouf'não existe - Teste da 2ª derivada:
f''(x) > 0no ponto crítico → mínimo local;f''(x) < 0→ máximo local
Passo a passo
- Identifique o que a questão pede: limite, derivada ou otimização (máximo/mínimo) — cada tipo usa uma estratégia diferente
- Para limites: tente a substituição direta primeiro; se der indeterminação (
0/0ou(∞)/(∞)), fatore, racionalize ou use um limite fundamental para contornar o problema - Para continuidade: verifique se
f(a)existe, selim(x→a) f(x)existe, e se os dois valores coincidem — os três precisam ser verdadeiros - Para derivadas: reconheça a estrutura da função (produto, quociente, composta) e aplique a regra correspondente, combinando regras quando necessário
- Para otimização: escreva a função objetivo em uma única variável, usando a restrição do problema para eliminar variáveis extras
- Derive a função objetivo — a derivada representa a taxa de variação da grandeza que se quer maximizar/minimizar
- Iguale a derivada a zero e resolva:
f'(x) = 0localiza os pontos onde a taxa de variação é nula, candidatos a máximo/mínimo - Classifique cada ponto crítico com o teste da 2ª derivada (ou análise de sinal da 1ª derivada)
- Compare também com os extremos do domínio, se houver — o máximo/mínimo pode estar na borda do intervalo em vez de em um ponto crítico
Exemplo resolvido
Enunciado: Uma empresa estima que o lucro mensal (em milhares de reais), ao vender x unidades de um produto, é dado por L(x) = -2x² + 80x - 350, com x ≥ 0. Qual é o número de unidades que maximiza o lucro, e qual é esse lucro máximo?
- Derive a função lucro
L(x) = -2x² + 80x - 350termo a termo, usando a regra da potência:L'(x) = -4x + 80 - Iguale a derivada a zero para achar o ponto crítico, pois é onde a taxa de variação do lucro é nula:
-4x + 80 = 0 - Isole
x:-4x = -80→x = 20 - Classifique o ponto com a 2ª derivada:
L''(x) = -4, que é negativa para todox, logo a função é côncava para baixo ex = 20é ponto de máximo - Confirme que
x = 20respeita a restriçãox ≥ 0do domínio - Calcule o lucro máximo substituindo
x = 20emL(x):L(20) = -2(20)² + 80(20) - 350 - Resolva as potências e produtos:
L(20) = -2(400) + 1600 - 350 = -800 + 1600 - 350 - Some os termos:
L(20) = 450
Resposta: x = 20 unidades, com lucro máximo de 450 (mil reais)
Dicas e pegadinhas
- Não confundir ponto crítico com máximo/mínimo automaticamente — sempre classifique com o teste da 2ª derivada ou análise de sinal
- Ao aplicar a regra da cadeia, não esquecer de multiplicar pela derivada da função interna
- Lembrar que
lim(x→0) (sen(x))/x = 1, mesmo a substituição direta dando a indeterminação0/0 - Em problemas de otimização, sempre verificar as restrições do domínio (por exemplo
x ≥ 0) e comparar o ponto crítico com os extremos do intervalo, quando existirem