Questões de Cálculo I

Gabarito: B) x > 2

A função é crescente onde f'(x) > 0. Temos f'(x) = 2x − 4 > 0 → x > 2. Como a parábola tem concavidade para cima (coeficiente de x² positivo), ela decresce antes do vértice (x<2) e cresce depois (x>2). A opção A descreve justamente o intervalo de decrescimento, o oposto do pedido.

Gabarito: C) 2

Derivando: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x−1)(x+1). Igualando a zero: x = 1 ou x = −1. Portanto, f tem exatamente 2 pontos críticos. A opção D (3) confunde o número de pontos críticos com o número de zeros da própria função f(x)=0, que não é o que está sendo pedido.

Gabarito: C) 3x² + 4x − 1

Derivando termo a termo: d/dx(x³) = 3x², d/dx(2x²) = 4x, d/dx(−x) = −1. Somando: f'(x) = 3x² + 4x − 1. A opção A esquece de derivar o termo −x, e a opção D usa o coeficiente errado (2x em vez de 4x) no segundo termo.

Gabarito: B) cos(x)

A derivada da função seno é a função cosseno: d/dx(sen x) = cos(x). Essa é uma das derivadas trigonométricas fundamentais e deve ser memorizada. A opção C (−cos(x)) é a derivada de −sen(x), não de sen(x), e a opção A é a segunda derivada de sen(x), não a primeira.

Gabarito: E) eˣ

A função exponencial natural eˣ é a única função (a menos de múltiplo constante) que é igual à sua própria derivada: d/dx(eˣ) = eˣ. A opção A aplica erroneamente a regra da potência (válida para xⁿ, não para bases constantes elevadas a x).

Gabarito: B) sec²(x)

Escrevendo tan(x) = sen(x)/cos(x) e aplicando a regra do quociente: f'(x) = [cos(x)·cos(x) − sen(x)·(−sen(x))]/cos²(x) = [cos²x + sen²x]/cos²x = 1/cos²x = sec²(x). A opção C (−csc²(x)) é, na verdade, a derivada de cotg(x), não de tan(x).

Gabarito: D) 3e^(3x)

Pela regra da cadeia, d/dx[e^u] = e^u · u', com u=3x (u'=3): f'(x) = e^(3x) · 3 = 3e^(3x). A opção A esquece de multiplicar pela derivada do expoente (o fator 3), e a opção B aplica erroneamente a regra da potência a uma base exponencial.

Gabarito: E) 100 m²

Sejam x e y os lados, com 2(x+y)=40, ou seja, y=20−x. A área é A(x) = x(20−x) = 20x − x². Derivando e igualando a zero: A'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10, e então y = 10 (o retângulo ótimo é um quadrado). A área máxima é A(10) = 10·10 = 100 m². A opção D (400) corresponde ao erro de calcular 20×20 sem usar corretamente a restrição do perímetro.

Gabarito: A) 1,5 m/s

Sejam x a distância da base à parede e y a altura do topo, com x²+y²=100 (teorema de Pitágoras). Derivando em relação ao tempo: 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0. Quando x=6, y=√(100−36)=8. Com dx/dt=2: 2(6)(2) + 2(8)(dy/dt) = 0 → 24 + 16(dy/dt) = 0 → dy/dt = −1,5 m/s. O sinal negativo indica que a altura diminui, e a taxa pedida é 1,5 m/s. A opção B (2 m/s) confunde a taxa da altura com a taxa dada da base.

Gabarito: D) 2x sen(x) + x² cos(x)

Pela regra do produto, (u·v)' = u'v + uv', com u=x² (u'=2x) e v=sen(x) (v'=cos(x)): f'(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x). A opção C troca o sinal do segundo termo, e a opção E multiplica os termos em vez de somá-los, confundindo a regra do produto com o próprio produto.

Gabarito: C) 2 cm

O volume é V = πr²h = 16π, logo h = 16/r². A área total é A(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 32π/r. Derivando: A'(r) = 4πr − 32π/r². Igualando a zero: 4πr = 32π/r² → 4r³ = 32 → r³ = 8 → r = 2 cm. Verifica-se que essa é a área mínima (A' passa de negativa para positiva). A opção A (4 cm) corresponde ao valor da altura h=16/4=4 nesse ponto ótimo, confundido com o raio.

Gabarito: B) 1/π cm/s

O volume da esfera é V = (4/3)πr³. Derivando em relação ao tempo: dV/dt = 4πr²·(dr/dt). Substituindo dV/dt=100 e r=5 (r²=25): 100 = 4π(25)(dr/dt) = 100π(dr/dt), logo dr/dt = 100/(100π) = 1/π cm/s. A opção A (4/π) corresponde ao erro de esquecer o fator r²=25 completo e usar uma fórmula sem o fator 4 correto.