BENSHUUMatemática · Cálculo
Como resolver questões de Cálculo II
Cobre integrais definidas e indefinidas, técnicas de integração (substituição, por partes, frações parciais), área sob curvas, volumes de sólidos de revolução e sequências e séries numéricas básicas. As questões costumam pedir o cálculo de uma integral específica ou a aplicação dela em área/volume.
Conceitos-chave
- Regra da potência para integrais:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, paran≠-1; e∫1/xdx = ln|x|+C - Teorema Fundamental do Cálculo:
∫[a,b] f(x)dx = F(b)-F(a), ondeFé uma antiderivada def - Substituição:
∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du, fazendou=g(x) - Integração por partes:
∫u dv = uv - ∫v du - Área entre curvas:
A = ∫[a,b] (f(x)-g(x)) dx, comf(x) ≥ g(x)no intervalo considerado - Volume de sólido de revolução (método dos discos, em torno do eixo x):
V = π∫[a,b] [R(x)]² dx - Série geométrica
Σ a·r^nconverge se|r|<1, com somaa/(1-r); série harmônicaΣ1/ndiverge
Passo a passo
- Identifique se é integral indefinida (achar a família de antiderivadas
+ C) ou definida (calcular um valor numérico, área ou volume) - Simplifique algebricamente o integrando antes de integrar, sempre que possível — isso evita técnicas de integração desnecessariamente complicadas
- Escolha a técnica adequada: potência direta, substituição (quando há uma função e sua derivada no integrando), partes (produto de funções de tipos diferentes) ou frações parciais (função racional)
- Calcule a antiderivada
F(x), conferindo cada termo pela regra escolhida - Para integral definida, aplique
F(b) - F(a) - Para área entre curvas, primeiro encontre os pontos de interseção — eles definem os limites de integração
- Para sólidos de revolução, identifique o eixo de rotação e monte a integral do volume (discos, anéis ou cascas cilíndricas), conforme a forma da região
- Para sequências e séries, identifique o tipo (geométrica, p-série etc.) e aplique o teste de convergência apropriado
Exemplo resolvido
Enunciado: Calcule a área da região limitada pela curva y = x² e pela reta y = 4.
- Encontre os pontos de interseção igualando as duas curvas:
x² = 4 - Resolva para
x:x = -2oux = 2— esses valores serão os limites de integração - Determine qual curva fica por cima no intervalo
[-2,2]: testando um ponto, por exemplox=0, a retay=4fica acima da parábolay=x² - Monte a integral da área com a função de cima menos a de baixo:
A = ∫[-2,2] (4 - x²) dx - Calcule a antiderivada termo a termo:
∫(4-x²)dx = 4x - x³/3 - Avalie no limite superior
x=2:4(2) - 2³/3 = 8 - 8/3 = 16/3 - Avalie no limite inferior
x=-2:4(-2) - ((-2)³)/3 = -8 + 8/3 = -16/3 - Subtraia o valor no limite inferior do valor no limite superior:
A = 16/3 - (-16/3) = 32/3
Resposta: 32/3 unidades de área
Dicas e pegadinhas
- Não esquecer a constante
Cnas integrais indefinidas - Em área entre curvas, sempre identifique qual função está acima no intervalo antes de montar a integral — inverter a ordem dá um resultado negativo/errado
- Não confundir o método dos discos (região não toca o eixo de rotação) com o método dos anéis (região com um 'furo')
- Ao usar substituição em integral definida, lembre-se de trocar também os limites de integração para a nova variável
u(ou voltar paraxno final, se for indefinida)