Questões de Cálculo II

Gabarito: D) Converge para 2

∫_a¹ x^(-1/2)dx = [2√x]_a¹ = 2 − 2√a. Quando a→0⁺, 2√a→0, logo o limite é 2. Apesar da descontinuidade em x=0, a integral converge, pois o expoente -1/2 satisfaz |p|<1 (regra: ∫₀¹ 1/x^p dx converge se p<1).

Gabarito: A) 1/6

A área entre as curvas é ∫₀¹[x − x²]dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6. A opção 1/2 esquece de subtrair a área sob y=x²; 1/3 corresponde apenas ao valor de ∫x²dx isoladamente, sem considerar a diferença entre as curvas.

Gabarito: E) Diverge

∫₁^b (1/x)dx = ln(b) − ln(1) = ln(b). Quando b→∞, ln(b)→∞, então a integral diverge. Este é o caso-limite clássico p=1 na regra ∫₁^∞1/x^p dx, que fica fora da condição p>1 de convergência, sendo o exemplo canônico de divergência lenta.

Gabarito: E) 8π

Pelo método dos discos, V = π∫₀⁴(√x)² dx = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = π(8) = 8π. A opção 16π dobraria indevidamente o resultado; 32π/3 confunde a fórmula com a de volume de cone ou esfera.

Gabarito: D) 7,5

∫₀³(x+1)dx = [x²/2 + x]₀³ = (9/2+3) − 0 = 4,5+3 = 7,5. A opção 4,5 esquece de somar o termo referente à integração do "+1"; 9 seria a área de um retângulo de base 3 e altura 3, ignorando a variação linear da função.

Gabarito: A) 1

∫₀^b e^{-x}dx = [-e^{-x}]₀^b = 1 − e^{-b}. Quando b→∞, e^{-b}→0, logo o limite é 1. A integral converge porque e^{-x} decai exponencialmente. A opção "diverge" ignora justamente esse decaimento rápido do integrando.

Gabarito: B) p > 1

Calculando ∫₁^b x^{-p}dx = [x^(1-p)/(1-p)]₁^b (para p≠1): se p>1, o expoente 1-p é negativo e x^(1-p)→0 quando b→∞, logo a integral converge. Se p<1, x^(1-p)→∞ e a integral diverge; se p=1, obtém-se ln(b)→∞, também divergente. Portanto, converge exatamente quando p>1.

Gabarito: B) 32/3

As curvas se interceptam em x = ±2. A área é ∫₋₂²(4−x²)dx = [4x − x³/3]₋₂² = 16/3 − (−16/3) = 32/3. A opção 16/3 corresponde a considerar apenas metade da região (de 0 a 2, sem dobrar pela simetria); 16 usaria os limites de forma incorreta.

Gabarito: E) 14/3

y' = x^(1/2), então 1+(y')² = 1+x. O comprimento é ∫₀³√(1+x)dx = [(2/3)(1+x)^(3/2)]₀³ = (2/3)(4^(3/2) − 1) = (2/3)(8−1) = 14/3. Erros ao aplicar a regra da potência a (1+x)^(3/2), ou ao avaliar os limites de integração, geram as demais opções incorretas.

Gabarito: D) 8π

Pelo método das cascas, V = 2π∫₀² x·f(x)dx = 2π∫₀² x·x² dx = 2π∫₀² x³ dx = 2π[x⁴/4]₀² = 2π(4) = 8π. Esquecer o fator 2π característico do método das cascas geraria valores menores, como 4π.

Gabarito: B) 2√2 - 2

As curvas se cruzam em x=π/4. A área total é ∫₀^(π/4)(cosx−senx)dx + ∫_(π/4)^(π/2)(senx−cosx)dx. Cada uma das duas partes vale √2−1, totalizando 2√2−2 ≈ 0,83. A opção √2−1 corresponde a apenas uma das duas metades simétricas da região, esquecendo de somar a outra.

Gabarito: B) -cos x + cos³x/3 + C

Escrevendo sen³x = sen x(1-cos²x) e usando u=cos x, du=-sen x dx: ∫sen³x dx = -∫(1-u²)du = -(u-u³/3) + C = -cos x + cos³x/3 + C. Trocar o sinal do segundo termo ou do primeiro são erros comuns ao distribuir o sinal negativo pela expressão entre parênteses.