BENSHUUMatemática · Cálculo
Como resolver questões de Cálculo III
Cobre funções de várias variáveis, derivadas parciais, gradiente, otimização multivariável (com e sem restrições, incluindo multiplicadores de Lagrange) e integrais duplas e triplas. As questões costumam pedir derivadas parciais, classificação de pontos críticos ou o cálculo de uma integral sobre uma região.
Conceitos-chave
- Derivada parcial
(∂f)/(∂x): derivafem relação axtratando as demais variáveis como constantes - Gradiente:
∇f = ((∂f)/(∂x), (∂f)/(∂y)), vetor que aponta na direção de maior crescimento def - Pontos críticos de
f(x,y): onde∇f = (0,0) - Teste do Hessiano:
D = fxx·fyy - (fxy)²; seD>0efxx>0→ mínimo local; seD>0efxx<0→ máximo local; seD<0→ ponto de sela - Multiplicadores de Lagrange: para otimizar
f(x,y)sujeito ag(x,y)=c, resolve-se o sistema∇f = λ∇gjunto comg(x,y)=c - Integral dupla
∫∫[R] f(x,y) dAcalcula o volume sob a superfíciez=f(x,y)acima da regiãoR - Integral tripla
∫∫∫[E] f(x,y,z) dVé usada para calcular volume, massa ou outras grandezas em uma região sólidaE
Passo a passo
- Identifique quantas variáveis a função tem e o que exatamente é pedido (derivada parcial, ponto extremo, integral)
- Para derivadas parciais, derive em relação à variável indicada mantendo as demais fixas, como se fossem constantes
- Para otimização livre, calcule
∇f, iguale a(0,0)e resolva o sistema para achar os pontos críticos - Classifique cada ponto crítico com o Hessiano — o sinal de
De defxxdiz se é mínimo, máximo ou sela - Para otimização com restrição, monte o sistema de Lagrange
∇f = λ∇gjunto com a equação da restriçãog=c - Resolva o sistema de Lagrange simultaneamente (geralmente eliminando
λentre as equações) para achar os candidatos - Para integrais duplas/triplas, esboce a região de integração e defina os limites de acordo com a ordem de integração escolhida
- Resolva a integral iterada de dentro para fora, tratando as demais variáveis como constantes em cada etapa
- Confira se o resultado é coerente com o contexto (por exemplo, volume ou massa devem ser positivos)
Exemplo resolvido
Enunciado: Encontre e classifique os pontos críticos de f(x,y) = x² + y² - 4x - 6y + 13.
- Calcule a derivada parcial em relação a
x, tratandoycomo constante:fx = 2x - 4 - Calcule a derivada parcial em relação a
y, tratandoxcomo constante:fy = 2y - 6 - Iguale as duas derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
2x-4=0e2y-6=0 - Resolva cada equação separadamente:
x=2ey=3, obtendo o ponto crítico(2,3) - Calcule as segundas derivadas parciais necessárias para o Hessiano:
fxx=2,fyy=2,fxy=0 - Aplique a fórmula do Hessiano:
D = fxx·fyy - (fxy)² = 2·2 - 0² = 4 - Como
D = 4 > 0efxx = 2 > 0, o ponto(2,3)é de mínimo local - Calcule o valor da função no ponto para completar a resposta:
f(2,3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 13 = 0
Resposta: (2,3) é ponto de mínimo local, com f(2,3) = 0
Dicas e pegadinhas
- Ao derivar parcialmente, tratar as outras variáveis como constantes — não aplicar a regra do produto entre variáveis independentes sem necessidade
- No teste do Hessiano,
D<0sempre indica ponto de sela, independentemente do sinal defxx - Em multiplicadores de Lagrange, resolver o sistema completo (incluindo a equação de restrição
g=c), não apenas igualar as derivadas parciais - Em integrais duplas/triplas, definir corretamente os limites a partir de um esboço da região — trocar a ordem de integração sem recalcular os limites é um erro comum