12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Calcule ∫∫_R (x + y) dA, onde R = [0, 1] × [0, 2].
Gabarito: A) 3
Integrando primeiro em x: ∫0^1 (x+y) dx = [x²/2 + xy]0^1 = 1/2 + y. Depois em y: ∫0^2 (1/2 + y) dy = [y/2 + y²/2]0^2 = 1 + 2 = 3. A alternativa C (=4) esquece o fator 1/2 no primeiro termo, e D (=1) considera apenas a integral de x, ignorando a contribuição de y.
Calcule ∫∫_R xy dA, onde R = [0, 2] × [0, 3].
Gabarito: B) 9
Como o integrando se separa em x·y sobre um retângulo, a integral dupla é o produto das integrais simples: ∫0^2 x dx · ∫0^3 y dy = [x²/2]0^2 · [y²/2]0^3 = 2 · 4,5 = 9. A alternativa D (=18) esquece de dividir por 2 em um dos fatores, e A (=6) usa apenas os limites superiores multiplicados (2·3) sem integrar de fato.
Calcule, por integral dupla, a área da região limitada por y = x² e y = 4.
Gabarito: C) 32/3
As curvas se interceptam em x = ±2. A área é ∫_{-2}^{2} (4 − x²) dx = [4x − x³/3]_{-2}^{2} = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3. A alternativa A (=16/3) calcula apenas metade da integral (de 0 a 2) sem dobrar pelo fato de a região ser simétrica. B (=8) esquece de subtrair o termo x³/3.
Usando coordenadas polares, calcule a área do disco D: x² + y² ≤ 9.
Gabarito: D) 9π
Em polares, dA = r dr dθ, e a área é ∫0^{2π}∫0^3 r dr dθ = 2π · [r²/2]0^3 = 2π · 4,5 = 9π, coincidindo com a fórmula π r² = π(3)² = 9π. A alternativa B (=3π) esquece de elevar o raio ao quadrado (usa apenas r em vez de r²). E (=18π) confunde a área com a fórmula do perímetro multiplicada por algo incorreto.
A função f(x, y) = x² − y² possui um único ponto crítico em (0, 0). O que o teste da Hessiana indica sobre esse ponto?
Gabarito: B) Ponto de sela
Aqui fxx = 2, fyy = −2 e fxy = 0, logo D = fxx·fyy − (fxy)² = (2)(−2) − 0 = −4 < 0. Quando D < 0, o ponto crítico é sempre um ponto de sela, independentemente do sinal de fxx. As alternativas A e C estariam corretas apenas se D > 0 (com fxx > 0 para mínimo ou fxx < 0 para máximo), o que não ocorre aqui.
Considere f(x, y) = x³ + y³ − 3xy. Os pontos críticos são (0, 0) e (1, 1). Classifique o ponto (1, 1) usando o teste da segunda derivada.
Gabarito: C) Mínimo local
Temos fxx = 6x, fyy = 6y e fxy = −3. Em (1, 1): fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3, logo D = 6·6 − (−3)² = 36 − 9 = 27 > 0. Como D > 0 e fxx = 6 > 0, o ponto (1, 1) é um mínimo local. (Por comparação, em (0, 0) tem-se D = 0·0 − 9 = −9 < 0, um ponto de sela — daí o cuidado de não confundir os dois pontos críticos.) A alternativa A é a classificação correta do outro ponto crítico (0,0), não de (1,1).
Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido definido por r ≤ z ≤ 3, com 0 ≤ r ≤ 3 (região entre o cone z = r e o plano z = 3).
Gabarito: E) 9π
O volume é ∫0^{2π}∫0^3∫_r^3 r dz dr dθ = 2π∫0^3 r(3−r) dr = 2π[3r²/2 − r³/3]0^3 = 2π(13,5 − 9) = 2π(4,5) = 9π. A alternativa B (=27π) seria o volume de um cilindro completo de raio 3 e altura 3 (3π·3²·... um erro de não subtrair a parte cônica). D (=6π) esquece parte da integração em r.
Usando coordenadas esféricas, calcule o volume de uma esfera de raio 3 por meio da integral tripla ∫∫∫ ρ² sen(φ) dρ dφ dθ.
Gabarito: D) 36π
O volume é ∫0^{2π}∫0^{π}∫0^3 ρ² sen(φ) dρ dφ dθ = 2π · [−cos φ]0^π · [ρ³/3]0^3 = 2π · 2 · 9 = 36π, que coincide com a fórmula (4/3)πR³ = (4/3)π(27) = 36π. A alternativa A (=27π) esquece o fator 4/3 da fórmula do volume da esfera. E (=9π) confunde com a área de um círculo de mesmo raio.
Usando multiplicadores de Lagrange, qual é o valor mínimo de f(x, y) = (x − 3)² + (y − 4)² sujeito a x² + y² = 1?
Gabarito: B) 16
f(x,y) representa a distância ao quadrado do ponto (x,y) até (3,4). A distância da origem até (3,4) é √(9+16) = 5. Como (x,y) está sobre o círculo unitário, o ponto mais próximo de (3,4) fica na direção do segmento que une a origem a (3,4), a uma distância 1 da origem, resultando em distância mínima 5 − 1 = 4 até (3,4). O valor mínimo de f (a distância ao quadrado) é 4² = 16. A alternativa A (=4) confunde a distância mínima com seu quadrado, esquecendo de elevar ao quadrado. C (=25) usa o quadrado da distância até a origem (5²) em vez da distância corrigida pelo raio do círculo.
Qual é o valor mínimo local de f(x, y) = x² + xy + y² − 3x − 6y?
Gabarito: A) −9
Resolvendo fx = 2x + y − 3 = 0 e fy = x + 2y − 6 = 0, obtém-se x = 0 e y = 3. Verificando a Hessiana: fxx = 2, fyy = 2, fxy = 1, D = 4 − 1 = 3 > 0 e fxx > 0, confirmando um mínimo local. O valor mínimo é f(0, 3) = 0 + 0 + 9 − 0 − 18 = −9. A alternativa C (=0) esquece de somar os termos quadráticos e lineares corretamente, calculando apenas parte da expressão.
Qual é o valor máximo absoluto de f(x, y) = x² + y² − 2x − 2y + 2 na região fechada x² + y² ≤ 4?
Gabarito: E) 6 + 4√2
Note que f(x,y) = (x−1)² + (y−1)², ou seja, é o quadrado da distância ao ponto (1,1). O ponto crítico interior (1,1) está dentro do disco e é um mínimo (f = 0). O máximo absoluto ocorre na fronteira x²+y²=4, no ponto mais distante de (1,1), que é o ponto diametralmente oposto à direção (1,1), a saber (−√2, −√2). A distância até (1,1) nesse ponto é (1+√2)√2, cujo quadrado é 2(1+√2)² = 2(3+2√2) = 6+4√2. A alternativa D (=6) é o valor de f calculado erroneamente sem o termo √2 (ou seja, considerando apenas parte da expansão do quadrado).
Usando coordenadas esféricas, calcule a massa do sólido hemisfério x² + y² + z² ≤ 9, z ≥ 0, com densidade δ(x, y, z) = z.
Gabarito: E) 81π/4
Em esféricas, z = ρ cos φ e dV = ρ² sen φ dρ dφ dθ, com φ de 0 a π/2 (hemisfério superior), ρ de 0 a 3 e θ de 0 a 2π. A massa é ∫0^{2π}dθ · ∫0^{π/2} cos φ sen φ dφ · ∫0^3 ρ³ dρ = 2π · (1/2) · (81/4) = 81π/4. A alternativa D (=81π) esquece de multiplicar pelo fator 1/2 vindo de ∫cos φ sen φ dφ. B (=81π/8) erra ao dividir por 8 em vez de 4 no cálculo de ∫0^3 ρ³ dρ.
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