BENSHUUMatemática · Cálculo
Como resolver questões de Cálculo IV
Cobre cálculo vetorial: campos vetoriais, integrais de linha e de superfície, e os teoremas de Green, Stokes e Gauss (divergência), que relacionam integrais sobre curvas/superfícies fechadas com integrais sobre a região que elas delimitam. As questões costumam pedir o cálculo de uma integral de linha/superfície, direto ou via um desses teoremas.
Conceitos-chave
- Campo conservativo:
F=∇fpara alguma função potencial escalarf; nesse caso a integral de linha depende só dos extremos - Integral de linha de campo vetorial:
∫[C] F·dr = ∫[a,b] F(r(t))·r'(t) dt, comr(t)parametrizandoC - Divergente:
div F = (∂P)/(∂x) + (∂Q)/(∂y) + (∂R)/(∂z), paraF=(P,Q,R) - Rotacional:
rot F = ∇×F, mede a tendência de rotação (circulação local) do campo - Teorema de Green:
∮[C] Pdx+Qdy = ∫∫[D] ((∂Q)/(∂x) - (∂P)/(∂y)) dA, comCfechada e orientada no sentido anti-horário - Teorema de Stokes:
∫∫[S] (rot F)·dS = ∮[∂S] F·dr, relaciona integral de superfície com integral de linha na borda - Teorema de Gauss (Divergência):
∫∫∫[E] div F dV = ∫∫[∂E] F·dS, paraEsólido com superfície fechada∂E
Passo a passo
- Identifique o tipo de integral pedida: de linha (sobre uma curva), de superfície ou de volume
- Verifique se o campo
Fé conservativo calculandorot F— serot F=0, use a função potencial para simplificar a integral de linha - Se a curva ou superfície é fechada, avalie se Green, Stokes ou Gauss simplifica bastante o cálculo em relação ao método direto
- Se o cálculo direto for necessário, parametrize a curva
r(t)ou a superfícier(u,v) - Calcule as derivadas necessárias:
r'(t)para integral de linha; o produto vetorialru×rvpara obter o vetor normal em integral de superfície - Monte a integral resultante substituindo a parametrização (ou aplicando o teorema escolhido)
- Resolva a integral, geralmente reduzindo a uma integral simples ou dupla mais direta
- Confira a orientação (sentido de percurso da curva ou direção da normal), pois ela determina o sinal do resultado
Exemplo resolvido
Enunciado: Use o Teorema de Green para calcular ∮[C] (x²y dx + x dy), onde C é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrido no sentido anti-horário.
- Identifique
P=x²yeQ=xa partir da integral∮[C] (P dx + Q dy) - Calcule a derivada parcial de
Qem relação ax:(∂Q)/(∂x) = 1 - Calcule a derivada parcial de
Pem relação ay:(∂P)/(∂y) = x² - Aplique o Teorema de Green, que troca a integral de linha por uma integral dupla:
∮[C] Pdx+Qdy = ∫∫[D] ((∂Q)/(∂x) - (∂P)/(∂y)) dA - Substitua as derivadas calculadas:
∫∫[D] (1 - x²) dA, comDsendo o quadrado[0,1]×[0,1] - Monte a integral iterada:
∫[0,1]∫[0,1] (1-x²) dy dx - Integre primeiro em
y(de 0 a 1), tratandoxcomo constante: como o integrando não depende dey, a integral interna resulta em(1-x²) - Integre o resultado em
x:∫[0,1](1-x²)dx = [x - x³/3]de 0 a 1 - Avalie nos limites e simplifique:
1 - 1/3 = 2/3
Resposta: 2/3
Dicas e pegadinhas
- Verificar sempre a orientação da curva antes de aplicar Green/Stokes — sentido de percurso trocado inverte o sinal do resultado
- Não aplicar Green em curvas abertas nem Gauss em superfícies não fechadas — esses teoremas exigem curva/superfície fechada
- Lembrar que
rot F=0garante campo conservativo apenas em regiões simplesmente conexas (sem 'buracos') - Ao parametrizar superfícies, calcular corretamente o vetor normal (
ru × rv) e checar se sua orientação é a exigida pelo problema