12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Qual das funções abaixo é uma função potencial para o campo F(x,y) = (2x, 2y)?
Gabarito: C) f(x,y) = x² + y²
Precisamos de f com ∂f/∂x = 2x e ∂f/∂y = 2y. Para f = x²+y², temos ∂f/∂x=2x e ∂f/∂y=2y, exatamente o campo dado. Em x²−y², a derivada em y seria −2y (sinal errado). Em 2x²+2y², as derivadas seriam 4x e 4y (fator dobrado). xy e x+y não geram o campo desejado ao derivar.
Seja F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) um campo vetorial de classe C¹ definido em um domínio simplesmente conexo. F é conservativo se, e somente se:
Gabarito: B) ∂P/∂y = ∂Q/∂x
Esse é o teste padrão para campos conservativos no plano em domínios simplesmente conexos: as derivadas cruzadas devem coincidir, ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Trocar as variáveis das derivadas (∂P/∂x = ∂Q/∂y) não corresponde a nenhuma condição relevante. Um sinal de menos incorreto, a igualdade literal P=Q, ou a condição de divergente nulo (que é outro conceito, ligado a campos incompressíveis) não caracterizam campos conservativos.
Um campo vetorial F é dito conservativo em uma região quando existe uma função escalar f, chamada função potencial, tal que:
Gabarito: A) F = ∇f
Por definição, F é conservativo quando F é o gradiente de alguma função escalar f, ou seja, F = ∇f. A opção com ∇×F confunde o conceito com rotacional, que mede a rotação de um campo, não a existência de potencial. As demais trocam os papéis de F e f ou representam operações sem sentido dimensional.
A integral de linha ∫_C f(x,y) ds, em que f representa a densidade linear (massa por comprimento) de um fio com o formato da curva C, calcula:
Gabarito: D) a massa total do fio
Integrar a densidade linear ao longo do comprimento do fio fornece a massa total. O comprimento do fio seria obtido tomando f=1. Área sob a curva é conceito de integral definida usual em relação a x, não integral de linha. Trabalho e fluxo envolvem integrais de campos vetoriais, não de uma função escalar de densidade.
Qual é a área da superfície de uma esfera de raio 2?
Gabarito: E) 16π
A área da superfície esférica de raio r é 4πr². Para r=2, isso dá 4π(4) = 16π. O valor 4π corresponde à área para r=1, e 8π viria de usar 2πr² por engano. 32π e 4π² surgem de erros no expoente ou no fator numérico da fórmula.
Qual dos campos vetoriais abaixo NÃO é conservativo em ℝ²?
Gabarito: E) F(x,y) = (y, −x)
Para F=(y,−x): ∂P/∂y=1 e ∂Q/∂x=−1, valores diferentes, logo não é conservativo. Nos demais casos as derivadas cruzadas coincidem: em (2xy,x²), ambas valem 2x; em (3x²y,x³), ambas valem 3x²; em (e^x sen y, e^x cos y), ambas valem e^x cos y; em (2x+y,x+2y), ambas valem 1.
O campo F(x,y) = (y cos x + y², sin x + 2xy) é conservativo. Qual das funções abaixo é uma função potencial para F?
Gabarito: E) f(x,y) = y sin x + x y²
Integrando P = y cos x + y² em relação a x obtemos f = y sin x + x y² + g(y). Derivando em y: ∂f/∂y = sin x + 2xy + g'(y), que deve ser igual a Q = sin x + 2xy, logo g'(y)=0. Assim f = y sin x + xy². As demais opções falham ao derivar: por exemplo, y cos x + xy² tem ∂f/∂x = −y sin x + y², diferente de P.
Para o campo F(x,y,z) = (yz, xz, xy), uma função potencial f é:
Gabarito: E) f(x,y,z) = xyz
Para f = xyz, temos ∂f/∂x = yz, ∂f/∂y = xz e ∂f/∂z = xy, coincidindo exatamente com F. A função xy+yz+xz tem gradiente (y+z, x+z, x+y), diferente do campo dado. x²yz e xyz² alteram os expoentes e não reproduzem F ao derivar.
Considere o plano z = 4 − x − y, parametrizado por r(x,y) = (x, y, 4−x−y). Calcule o vetor r_x × r_y.
Gabarito: D) (1, 1, 1)
Temos r_x = (1,0,−1) e r_y = (0,1,−1). O produto vetorial r_x × r_y = (0·(−1)−(−1)·1, (−1)·0−1·(−1), 1·1−0·0) = (1, 1, 1). Trocar o sinal de alguma componente é um erro comum no cálculo do determinante do produto vetorial. Considerar apenas o vetor normal ao plano xy, (0,0,1), ignora a inclinação do plano dado.
Calcule o fluxo do campo F(x,y,z) = (0,0,1) através do disco x²+y²≤1 no plano z=0, orientado com normal apontando para cima.
Gabarito: A) π
Como n=(0,0,1) e F·n = 1 em todo ponto, o fluxo é simplesmente a área do disco, π(1)² = π. O valor 0 estaria correto apenas se F fosse tangente à superfície ou nulo. 2π e 4π corresponderiam a áreas de discos de raio √2 ou 2, que não é o caso aqui.
Considere F(x,y) = (−y/(x²+y²), x/(x²+y²)), definido em ℝ²∖{(0,0)}. Embora ∂P/∂y = ∂Q/∂x em todo o domínio, F não é conservativo nele. Qual é o valor de ∮_C F·dr, sendo C a circunferência x²+y²=1 percorrida uma vez no sentido anti-horário?
Gabarito: C) 2π
Parametrizando C por (cos t, sen t), t∈[0,2π], obtém-se F·dr = dt, e a integral vale 2π. Esse resultado famoso mostra que a igualdade das derivadas cruzadas não garante campo conservativo quando o domínio tem um 'buraco' (não é simplesmente conexo) — se fosse conservativo, o valor seria 0, como equivocadamente sugere a segunda opção. Os demais valores surgem de erros de sinal ou de fator na parametrização.
Em ℝ³ (domínio simplesmente conexo), se um campo vetorial F de classe C¹ satisfaz ∇×F = 0 em todos os pontos, o que se pode concluir?
Gabarito: B) F é conservativo, isto é, existe f com F = ∇f
Em um domínio simplesmente conexo, rotacional nulo é condição suficiente (e necessária) para que F seja conservativo. Divergente nulo é uma propriedade independente (campo solenoidal), não decorre do rotacional ser zero. F não precisa ser constante — apenas ter potencial. E a integral de linha de um campo conservativo é justamente independente do caminho, o oposto da quarta opção.
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BENSHUU