BENSHUUMatemática · Cálculo
Como resolver questões de Cálculo V
Cobre séries de potências, séries de Taylor e Maclaurin, séries de Fourier, testes de convergência de séries e o cálculo do raio e do intervalo de convergência. As questões costumam pedir o raio/intervalo de convergência de uma série ou a expansão de uma função em série.
Conceitos-chave
- Série de potências:
Σ aₙ(x-c)ⁿ; o raio de convergênciaRindica o alcance de convergência em torno dec - Teste da razão para raio de convergência:
R = lim(n→∞) |(aₙ)/(aₙ₊₁)| - Série de Taylor:
f(x) = Σ [(f^(n)(c))/(n!)]·(x-c)ⁿ; série de Maclaurin é o caso particularc=0 - Séries de Maclaurin clássicas:
e^x=Σ(xⁿ)/(n!);sen(x)=Σ((-1)ⁿx^(2n+1))/((2n+1)!);1/(1-x)=Σxⁿpara|x|<1 - Teste da razão para convergência:
L = lim|(aₙ₊₁)/(aₙ)|; converge absolutamente seL<1, diverge seL>1, inconclusivo seL=1 - Teste de Leibniz (série alternada): se os termos decrescem em módulo até
0, a série alternada converge - Intervalo de convergência:
(c-R, c+R), sempre testando separadamente os extremosx=c-Rex=c+R
Passo a passo
- Identifique o tipo de problema: raio/intervalo de convergência, expansão em série de Taylor/Maclaurin, ou série de Fourier
- Para raio de convergência, aplique o teste da razão (ou da raiz) ao termo geral
aₙda série - Calcule o limite
L = lim|(aₙ₊₁)/(aₙ)|(tratando a parte emxseparadamente, se necessário) - Determine
Ra partir da condição de convergência|x-c|·L < 1, isolando|x-c| - Teste separadamente cada extremo do intervalo (
x=c-Rex=c+R), substituindo na série original - Analise a série numérica resultante em cada extremo com um teste de convergência apropriado (comparação, Leibniz etc.) para decidir se ele entra ou não no intervalo
- Para série de Taylor, calcule as derivadas sucessivas de
femx=ce monte os termos(f^(n)(c))/(n!)·(x-c)ⁿ - Para série de Fourier, calcule os coeficientes
aₙebₙpelas fórmulas de integração no período da função - Combine os resultados obtidos para dar a resposta final pedida (raio, intervalo completo, ou termos da série)
Exemplo resolvido
Enunciado: Determine o raio de convergência da série de potências Σ (n=1 até ∞) ((x-2)ⁿ)/(n·3ⁿ).
- Identifique o termo geral da série:
aₙ = ((x-2)ⁿ)/(n·3ⁿ) - Separe a parte que depende de
xda parte puramente numérica, para aplicar o teste da razão aos coeficientes:cₙ = 1/(n·3ⁿ) - Monte a razão
|(cₙ₊₁)/(cₙ)|:[1/((n+1)·3^(n+1))] · [n·3ⁿ] - Simplifique a expressão cancelando
3ⁿ:|(cₙ₊₁)/(cₙ)| = n/(3(n+1)) - Calcule o limite quando
n→∞:lim(n→∞) n/(3(n+1)) = 1/3 - Monte a condição de convergência do teste da razão: a série converge quando
|x-2|·1/3 < 1 - Isole
|x-2|multiplicando os dois lados por3:|x-2| < 3 - Compare com a forma padrão
|x-c| < Rpara identificar o raio:R = 3
Resposta: R = 3
Dicas e pegadinhas
- Não esquecer de testar os dois extremos do intervalo separadamente — o teste da razão é inconclusivo exatamente nesses pontos (
L=1) - Memorizar as séries de Maclaurin clássicas (
e^x,sen x,cos x,1/(1-x)) agiliza a resolução, mas confira sempre o padrão de sinais e fatoriais - Em séries de Fourier, não esquecer o fator
(a₀)/2(e não apenasa₀) no termo constante da expansão - Convergência condicional (série alternada converge, mas
Σ|aₙ|diverge) não é o mesmo que convergência absoluta — testeΣ|aₙ|separadamente quando isso for perguntado