Questões de Cálculo V

Gabarito: A) 1

Pelo teste da razão, |a_{n+1}/a_n|·|x| = |x| (pois aₙ=1 para todo n), e a série converge quando |x|<1, logo R=1. É a série geométrica clássica. R=∞ (E) ocorreria em séries como a de eˣ, cujo termo geral tem fatorial no denominador, forçando o limite do teste da razão a zero para qualquer x. R=0 (B) só ocorreria se os coeficientes crescessem sem limite (como n!aₙ), o que não é o caso aqui.

Gabarito: B) [-1,1)

O teste da razão dá R=1. Em x=1: Σ1/n diverge (série harmônica). Em x=-1: Σ(-1)ⁿ/n converge (critério de Leibniz, harmônica alternada). Logo o intervalo é [-1,1). A opção (-1,1] (D) troca qual extremo converge, e [-1,1] (C) erra por incluir x=1, onde a série diverge.

Gabarito: C) ∞

Pelo teste da razão, |a_{n+1}/a_n|·|x| = |x|/(n+1) → 0 para todo x real fixo, à medida que n→∞. Como o limite é sempre menor que 1, a série converge para todo x, logo R=∞ (esta é a série de eˣ). R=1 (A) seria o comportamento de uma série geométrica, não desta, em que o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência de x.

Gabarito: B) R=2, (-2,2)

Esta é uma série geométrica de razão x/2, que converge se |x/2|<1, isto é |x|<2, logo R=2. Nos extremos x=±2 o termo geral vale (±1)ⁿ, sequência que não tende a zero, então a série diverge nos dois extremos: intervalo aberto (-2,2). A opção com R=1/2 (C) inverte incorretamente o papel do denominador 2 no teste da razão.

Gabarito: A) 1,105

Substituindo x=0,1 na aproximação: 1+0,1+(0,1)²/2 = 1+0,1+0,005 = 1,105, valor muito próximo do real e^0,1≈1,10517. A opção B (1,1) corresponde a usar apenas os dois primeiros termos (1+x), sem incluir o termo quadrático.

Gabarito: D) 0

Pelo teste da razão, |a_{n+1}/a_n|·|x| = (n+1)|x| → ∞ para qualquer x≠0. Como esse limite nunca fica menor que 1 (exceto em x=0), a série só converge no ponto x=0, ou seja, R=0. Confundir com R=∞ (A) é o erro típico de trocar o comportamento desta série com o de xⁿ/n!, que tem o fatorial no denominador (e por isso converge sempre), e não no numerador.

Gabarito: E) [-1,1]

O teste da razão dá R=1. Em x=1: Σ1/n² converge (p-série com p=2>1). Em x=-1: Σ(-1)ⁿ/n² converge absolutamente, pois Σ1/n² converge. Logo os dois extremos pertencem ao intervalo, resultando em [-1,1]. A opção (-1,1) (A) erra por excluir os extremos, esquecendo que aqui o expoente 2 no denominador garante convergência absoluta nas pontas, ao contrário do caso Σxⁿ/n.

Gabarito: A) (1,5)

Com aₙ=1/2ⁿ, o teste da razão fornece |x−3|/2<1, ou seja |x−3|<2, o que dá R=2 centrado em a=3, logo o intervalo aberto é (1,5). Nos extremos x=5 e x=1 o termo geral vale (±1)ⁿ, que não tende a zero, então a série diverge em ambos, confirmando que os extremos não entram — a opção [1,5] (C) erra justamente por incluí-los.

Gabarito: B) [-1/2,1/2)

Fazendo u=2x, a série Σuⁿ/n converge para u∈[-1,1). Substituindo de volta, −1≤2x<1, ou seja −1/2≤x<1/2. Em x=1/2 (u=1) obtemos a série harmônica, que diverge, e em x=−1/2 (u=−1) obtemos a harmônica alternada, que converge — por isso o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita. A opção (-1,1) (A) ignora o fator 2 dentro da potência.

Gabarito: B) 0,099833

Substituindo x=0,1: 0,1 − (0,1)³/6 = 0,1 − 0,001/6 = 0,1 − 0,0001667 ≈ 0,0998333. Esse valor é uma excelente aproximação do valor real sen(0,1)≈0,0998334. A opção A (0,1) é a aproximação de primeira ordem, que ignora a correção do termo cúbico.

Gabarito: C) [-1,1]

O teste da razão dá |x|<1 (o fator com ln n não afeta o limite, pois (ln n)²/(ln(n+1))²→1), então R=1. Em x=1, a série Σ1/(n(ln n)²) converge pelo teste da integral (∫dx/(x(ln x)²) converge, pois é da forma ∫du/u² com u=ln x). Em x=-1 há convergência absoluta, pois o módulo do termo é o mesmo termo positivo já convergente. Assim ambos os extremos entram, dando [-1,1] — diferente do caso Σxⁿ/n, em que o fator extra (ln n)² é justamente o que garante a convergência absoluta em x=1, ao contrário da harmônica simples.

Gabarito: A) (-2,2]

Pelo teste da razão, |x|/2<1 dá R=2. Em x=2: o termo geral fica (-1)ⁿ·2ⁿ/(2ⁿ·n)=(-1)ⁿ/n, que converge pelo critério de Leibniz. Em x=-2: o termo fica (-1)ⁿ·(-2)ⁿ/(2ⁿ·n)=(-1)ⁿ(-1)ⁿ/n=1/n (pois [(-1)²]ⁿ=1), a série harmônica, que diverge. Logo apenas x=2 pertence ao intervalo: (-2,2]. Um erro comum é achar que os dois extremos se comportam igual, como em [-2,2] (C) ou (-2,2) (D), sem perceber que os sinais alternados podem se cancelar em um extremo e se reforçar no outro.