BENSHUUMatemática
Como resolver questões de Combinatória e Probabilidade
Cobre o Princípio Fundamental da Contagem, permutações/arranjos/combinações simples e probabilidade básica (espaço amostral, eventos, probabilidade condicional simples).
Conceitos-chave
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC): multiplicar o número de possibilidades de cada etapa independente
- Permutação simples de
nelementos distintos:Pn = n! - Arranjo simples (importa ordem, sem repetição):
A(n,p) = (n!)/((n−p)!) - Combinação simples (não importa ordem, sem repetição):
C(n,p) = (n!)/(p!·(n−p)!) - Probabilidade de um evento (espaço equiprovável):
P(E)= casos favoráveis / casos possíveis - Probabilidade condicional simples:
P(A|B) = (P(A∩B))/(P(B)) - Para eventos mutuamente exclusivos:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Passo a passo
- Ler o problema e decidir se é contagem ('quantas formas de...') ou probabilidade ('qual a chance de...') — a pergunta costuma deixar isso claro.
- Em contagem: verificar se a ordem importa (arranjo/permutação) ou não (combinação), e se há repetição permitida.
- Montar a expressão com o PFC (multiplicando as etapas) ou aplicar diretamente a fórmula de
A(n,p),C(n,p)ouPn. - Em probabilidade: definir o espaço amostral total (casos possíveis) e os casos favoráveis ao evento pedido, contando com cuidado cada um.
- Calcular
P(E) = (favoráveis)/(possíveis), simplificando a fração ou convertendo em porcentagem se for pedido. - Se houver duas etapas dependentes (ex.: retiradas sem reposição), recalcular o espaço amostral da segunda etapa antes de multiplicar as probabilidades.
Exemplo resolvido
Enunciado: Uma urna tem 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Retira-se uma bola ao acaso e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Qual é a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas?
- No total há
8bolas na urna (5vermelhas +3azuis): esse é o espaço amostral da 1ª retirada. - Probabilidade da 1ª bola ser vermelha:
P(1ª vermelha) = 5/8. - Como a bola não é reposta, a urna passa a ter
7bolas ao todo, sendo4vermelhas (uma vermelha já saiu). - Probabilidade da 2ª bola ser vermelha, dado que a 1ª já foi vermelha:
P(2ª vermelha | 1ª vermelha) = 4/7. - Como as duas retiradas precisam ocorrer em sequência (uma E a outra), multiplicam-se as probabilidades:
P = 5/8·4/7. - Multiplicando numeradores e denominadores:
P = (5·4)/(8·7) = 20/56. - Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
4:P = 20/56 = 5/14.
Resposta: 5/14
Dicas e pegadinhas
- Para distinguir arranjo de combinação, pergunte-se: trocar a ordem dos elementos gera um resultado diferente? Se sim, é arranjo/permutação; se não, é combinação.
- Em problemas 'sem reposição', o espaço amostral do segundo evento muda — não reutilize a fração da primeira retirada na segunda.
- No PFC, etapas independentes se MULTIPLICAM; somar as possibilidades de cada etapa é o erro mais comum.
- Sempre confirme que o espaço amostral é equiprovável antes de usar a razão casos favoráveis/casos possíveis.