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Como resolver questões de Equações Diferenciais (EDO e EDP)
Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem (separáveis, lineares) e de 2ª ordem com coeficientes constantes, além de uma introdução às equações diferenciais parciais. As questões costumam pedir para resolver um problema de valor inicial (PVI) completo.
Conceitos-chave
- EDO separável:
dy/dx = f(x)g(y)→ separar as variáveis:dy/(g(y)) = f(x)dxe integrar ambos os lados - EDO linear de 1ª ordem:
dy/dx + P(x)y = Q(x); resolvida com fator integranteμ(x) = e^∫P(x)dx - EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes:
ay''+by'+cy=0, resolvida pela equação característicaaλ²+bλ+c=0 - Raízes reais distintas
λ1≠λ2: soluçãoy = C1·e^(λ1x) + C2·e^(λ2x) - Raiz dupla
λ: soluçãoy = (C1+C2x)·e^(λx) - Raízes complexas
α±βi: soluçãoy = e^(αx)·(C1·cos(βx) + C2·sen(βx)) - Problema de valor inicial (PVI): condições como
y(x0)=y0(ey'(x0)=y0'na 2ª ordem) determinam as constantesC
Passo a passo
- Identifique a ordem e o tipo da equação: separável, linear de 1ª ordem, linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, ou EDP.
- Para separáveis, isole todos os termos em
yde um lado e emxdo outro, e integre ambos os lados — cada lado gera sua própria constante, que se combinam em uma só. - Para lineares de 1ª ordem, calcule o fator integrante
μ(x)=e^∫P(x)dx, multiplique a equação porμ, reconheça o lado esquerdo como(μy)'e integre. - Para 2ª ordem com coeficientes constantes, monte e resolva a equação característica
aλ²+bλ+c=0, escolhendo a forma da solução geral conforme o tipo de raízes (reais distintas, raiz dupla ou complexas). - Se houver condições iniciais, derive a solução geral (quando necessário) e substitua os valores dados para determinar as constantes.
- Verifique a solução derivando-a e substituindo de volta na equação diferencial original.
- Para EDPs simples, tente separação de variáveis (supor solução como produto de funções de uma variável cada) reduzindo o problema a EDOs.
Exemplo resolvido
Enunciado: Resolva o problema de valor inicial y'' − 5y' + 6y = 0, com y(0) = 1 e y'(0) = 0.
- Montamos a equação característica associada, trocando
y''porλ²,y'porλeypor1:λ²−5λ+6=0. - Fatorando o polinômio:
λ²−5λ+6 = (λ−2)(λ−3), então(λ−2)(λ−3)=0. - As raízes são
λ=2eλ=3— reais e distintas, então a solução geral tem a formay = C1·e^(λ1x) + C2·e^(λ2x). - Substituindo as raízes:
y = C1·e^(2x) + C2·e^(3x), comC1eC2a determinar. - Aplicando a condição
y(0)=1:C1·e^0 + C2·e^0 = C1+C2 = 1. - Derivando a solução geral em relação a x:
y'(x) = 2C1·e^(2x) + 3C2·e^(3x). - Aplicando a condição
y'(0)=0na derivada:2C1 + 3C2 = 0. - Resolvendo o sistema: isolando
C1=1−C2na primeira equação e substituindo na segunda,2(1−C2)+3C2=0 → 2+C2=0 → C2=−2. - Voltando para achar
C1:C1 = 1−C2 = 1−(−2) = 3.
Resposta: y = 3e^(2x) − 2e^(3x)
Dicas e pegadinhas
- Não confundir a equação característica (polinômio em
λ) com a equação diferencial original. - Derive a solução geral ANTES de aplicar a condição sobre
y'(x0)— aplicar emy(x)por engano é erro comum. - Quando as raízes são complexas (
α±βi), a solução usa seno e cosseno (e^(αx)(C1cos(βx)+C2sen(βx))), não exponenciais complexas. - Em equações separáveis, sempre inclua a constante de integração
Cao final — combine as constantes das duas integrais em uma só.