12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Considere a equação diferencial linear dy/dx + y = 5, com y(0) = 2. Qual é a solução do problema de valor inicial?
Gabarito: B) y = 5 − 3e^(−x)
Fator integrante μ = e^(∫1dx) = e^x. (e^x y)' = 5e^x → e^x y = 5e^x + C → y = 5 + Ce^(−x). Com y(0)=2: 2 = 5 + C → C = −3. Logo y = 5 − 3e^(−x). A opção y = 5 + 3e^(−x) erra o sinal da constante; as demais trocam os papéis do termo constante e do termo exponencial.
Classifique a equação diferencial dy/dx = (x+1)/(y−2) quanto ao método mais direto de resolução:
Gabarito: C) Separável
A equação dy/dx = (x+1)/(y−2) pode ser reescrita como (y−2)dy = (x+1)dx, ou seja, as variáveis x e y podem ser completamente separadas em lados opostos — é uma equação separável. Não é linear (y aparece no denominador), nem exata na forma padrão sem antes separar, nem Bernoulli (não há termo y^n multiplicando dy/dx), nem homogênea (a razão não depende apenas de y/x).
Qual é a transformada de Laplace de f(t) = 1?
Gabarito: C) 1/s
Por definição, L{f(t)} = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt. Para f(t)=1: L{1} = ∫₀^∞ e^(−st)dt = 1/s (s>0). As demais opções não resultam dessa integral básica.
Resolva o problema de valor inicial dy/dx = 2xy, com y(0) = 3, e determine y(x).
Gabarito: A) y = 3e^(x²)
Equação separável: dy/y = 2x dx. Integrando: ln|y| = x² + C₁, logo y = Ce^(x²). Usando y(0)=3: C=3. Assim y = 3e^(x²). As opções com e^(2x²) ou e^(3x²) trocam o expoente pela constante de integração de forma incorreta; y=3x²+3 confunde a solução da EDO separável com uma integração direta sem exponencial.
Qual é a transformada de Laplace de f(t) = t?
Gabarito: E) 1/s²
L{t} = ∫₀^∞ te^(−st)dt = 1/s² (obtido por integração por partes). As demais opções correspondem a outras potências de t ou funções diferentes.
Resolva o sistema desacoplado x1' = 2x1, x2' = 3x2, com x1(0) = 1 e x2(0) = 2.
Gabarito: A) x1 = e^(2t), x2 = 2e^(3t)
Como o sistema é desacoplado (cada equação depende apenas da própria variável), x1(t)=x1(0)e^(2t)=e^(2t) e x2(t)=x2(0)e^(3t)=2e^(3t). As demais opções trocam as condições iniciais entre as variáveis ou os expoentes.
Determine os autovalores da matriz A = [[1, 1], [4, 1]] associada ao sistema linear x' = Ax.
Gabarito: E) λ = −1, 3
det(A−λI) = (1−λ)² − (1)(4) = (1−λ)² − 4 = 0 → 1−λ = ±2 → λ = −1 ou λ = 3. As demais opções não satisfazem a equação característica (1−λ)²=4.
Resolva a equação diferencial linear dy/dx − 2y = e^(2x) usando fator integrante.
Gabarito: B) y = (x + C)e^(2x)
Fator integrante μ = e^(∫−2dx) = e^(−2x). (e^(−2x)y)' = e^(−2x)·e^(2x) = 1 → e^(−2x)y = x + C → y = (x + C)e^(2x). A opção com e^(−2x) erra o sinal do expoente; as demais não distribuem corretamente o termo x multiplicado por e^(2x).
Qual é a transformada de Laplace de f(t) = cos(3t)?
Gabarito: B) s/(s²+9)
L{cos(at)} = s/(s²+a²). Com a=3: L{cos(3t)} = s/(s²+9). A opção 3/(s²+9) corresponde à transformada de sen(3t), não de cos(3t).
Resolva, usando a Transformada de Laplace, o problema de valor inicial y' + 2y = 0, com y(0) = 5.
Gabarito: D) y = 5e^(−2t)
Aplicando Laplace: sY(s) − y(0) + 2Y(s) = 0 → sY(s) − 5 + 2Y(s) = 0 → Y(s)(s+2) = 5 → Y(s) = 5/(s+2). Como L⁻¹{1/(s+2)} = e^(−2t), obtemos y(t) = 5e^(−2t). As demais opções trocam o sinal do expoente ou os coeficientes.
A solução geral de um sistema x' = Ax é x(t) = C1 e^(−t)(1,1) + C2 e^(−3t)(1,−1), correspondente aos autovalores λ1 = −1 (autovetor (1,1)) e λ2 = −3 (autovetor (1,−1)). Determine a solução particular que satisfaz x(0) = (2, 0).
Gabarito: B) x(t) = (e^(−t) + e^(−3t), e^(−t) − e^(−3t))
Em t=0: C1(1,1)+C2(1,−1)=(2,0), ou seja, C1+C2=2 e C1−C2=0, o que dá C1=C2=1. Logo x(t)=e^(−t)(1,1)+e^(−3t)(1,−1)=(e^(−t)+e^(−3t), e^(−t)−e^(−3t)). A opção com componentes trocadas inverte incorretamente as combinações de C1 e C2.
Determine o fator integrante μ(x) (função apenas de x) que torna exata a equação (3xy + y²)dx + (x² + xy)dy = 0.
Gabarito: D) μ(x) = x
Testando exatidão: M_y = 3x+2y, N_x = 2x+y, diferentes. Calculando (M_y−N_x)/N = (x+y)/(x(x+y)) = 1/x, função só de x, logo existe fator integrante μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln x) = x. As demais opções não resultam da fórmula do fator integrante dependente de x.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
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