BENSHUUMatemática
Como resolver questões de Estudo das Funções
Aprofunda a análise do comportamento de funções no plano cartesiano: crescimento e decrescimento, zeros (raízes), função composta e função inversa. Questões envolvem leitura de gráficos e manipulação da lei de funções para combinar ou inverter relações.
Conceitos-chave
- Função crescente: para
x1 < x2no domínio,f(x1) < f(x2) - Função decrescente: para
x1 < x2no domínio,f(x1) > f(x2) - Zero (ou raiz) da função: valor de x tal que
f(x) = 0— é onde o gráfico cruza o eixo x - Função composta:
(f∘g)(x) = f(g(x))— primeiro aplica g, depois aplica f ao resultado - Função inversa
f⁻¹: 'desfaz' f; existe quando f é bijetora; o gráfico def⁻¹é o reflexo do gráfico de f em relação à retay = x - Teste da reta vertical: verifica se uma curva é função (cada x tem no máximo um y)
- Teste da reta horizontal: verifica se uma função é injetora (condição para ter inversa)
Passo a passo
- Identifique a lei da função (ou leia o gráfico) e o que a questão está pedindo.
- Para crescimento/decrescimento, compare
fem dois pontos do intervalo ou observe o sinal do coeficiente que multiplicax. - Para achar zeros, resolva a equação
f(x) = 0. - Para função composta, substitua a lei de uma função dentro da variável da outra, respeitando a ordem indicada:
(f∘g)(x)aplicagprimeiro. - Para função inversa, troque
xporyna lei, isoley— essa nova expressão éf⁻¹(x). - Sempre confira o domínio da função resultante (restrições de denominador, raiz, etc.).
- Teste o resultado substituindo um valor numérico simples para ver se bate com o esperado.
Exemplo resolvido
Enunciado: Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 3, determine a lei de (f∘g)(x) e o valor de x para o qual (f∘g)(x) = 0.
- Por definição,
(f∘g)(x) = f(g(x)): primeiro calcula-seg(x), depois usa-se esse resultado como entrada def. - Substitui-se
g(x) = x - 3no lugar doxda lei def(x) = 2x + 1, obtendof(g(x)) = 2·(x - 3) + 1. - Aplicando a distributiva:
2·(x - 3) = 2x - 6, então a expressão fica2x - 6 + 1. - Somando os termos constantes:
-6 + 1 = -5, logo(f∘g)(x) = 2x - 5. - Para achar o zero da função composta, iguala-se a lei a zero:
2x - 5 = 0. - Isolando o termo com
x:2x = 5. - Dividindo os dois lados por
2:x = 5/2 = 2,5.
Resposta: (f∘g)(x) = 2x - 5; o zero ocorre em x = 5/2
Dicas e pegadinhas
(f∘g)(x)geralmente é diferente de(g∘f)(x)— a ordem de composição importa.- Ao achar a inversa, não esqueça de trocar
xporyANTES de isolary, senão o resultado sai errado. - Não confunda 'zero da função' (onde
f(x)=0) com 'valor def(0)' (imagem dex=0) — são coisas diferentes. - No teste da reta vertical/horizontal, lembre: vertical testa se É função; horizontal testa se é injetora (tem inversa).