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Como resolver questões de Geometria Analítica e Vetorial
Vetores no plano e no espaço (operações, produto escalar e vetorial), retas e planos no espaço, e superfícies quádricas (esferas, cones, paraboloides). As questões costumam pedir para calcular produtos entre vetores ou montar equações de retas e planos no espaço.
Conceitos-chave
- Vetor no espaço:
v=(x,y,z); soma, subtração e multiplicação por escalar são feitas componente a componente - Produto escalar:
u·v = ux·vx + uy·vy + uz·vz = |u||v|cosθ;u·v=0⟺uevsão perpendiculares - Produto vetorial (só em
ℝ³):u×v = (uy·vz−uz·vy, uz·vx−ux·vz, ux·vy−uy·vx), resulta em vetor perpendicular auev |u×v| = |u||v|senθ= área do paralelogramo formado poruev- Equação paramétrica da reta:
P = P0 + t·v,t∈ℝ, ondevé o vetor diretor - Equação do plano:
ax+by+cz+d=0, onde(a,b,c)é o vetor normal ao plano - Esfera:
(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r², centro(a,b,c)e raior
Passo a passo
- Identifique se o problema envolve operações com vetores, retas, planos ou superfícies quádricas.
- Para retas no espaço, determine um ponto e um vetor diretor, e monte a equação paramétrica
P=P0+t·v. - Para planos, determine um ponto do plano e o vetor normal (usando produto vetorial de dois vetores do plano, se necessário), e monte
ax+by+cz+d=0. - Use o produto escalar para checar perpendicularidade (
u·v=0) ou calcular ângulos, e o produto vetorial para achar vetores normais ou áreas. - Para posições relativas (reta-plano, plano-plano), compare vetores diretores/normais para paralelismo, ou resolva sistemas para interseções.
- Para superfícies quádricas, observe os sinais e expoentes dos termos quadráticos para identificar o tipo de superfície.
- Confira substituindo os pontos ou vetores encontrados de volta nas equações originais.
Exemplo resolvido
Enunciado: Dados os vetores u=(1,2,−1) e v=(3,0,2), determine o vetor normal ao plano que contém u e v, calculando o produto vetorial u×v.
- O produto vetorial é dado por
u×v = (uy·vz−uz·vy, uz·vx−ux·vz, ux·vy−uy·vx); vamos calcular cada componente separadamente. - Componente x:
uy·vz − uz·vy = (2)(2) − (−1)(0) = 4 − 0 = 4. - Componente y (atenção à ordem invertida dos termos nesta componente):
uz·vx − ux·vz = (−1)(3) − (1)(2) = −3 − 2 = −5. - Componente z:
ux·vy − uy·vx = (1)(0) − (2)(3) = 0 − 6 = −6. - Reunindo as três componentes:
u×v = (4, −5, −6). - Verificação rápida:
u×vdeve ser perpendicular au, entãou·(u×v)deve dar0:(1)(4)+(2)(−5)+(−1)(−6) = 4−10+6 = 0✓.
Resposta: n = (4, −5, −6)
Dicas e pegadinhas
- O produto vetorial só está definido em
ℝ³— não existe produto vetorial de vetores no plano (ℝ²) da mesma forma. - Não confundir produto escalar (resulta em número) com produto vetorial (resulta em outro vetor).
- Na fórmula do produto vetorial, a componente do meio (
y) tem os termos invertidos:uz·vx − ux·vz. - Os coeficientes
(a,b,c)da equação do plano vêm do vetor NORMAL ao plano, não de um vetor diretor contido nele.