Questões de Geometria Analítica e Vetorial

Gabarito: C) (3, -2, 1)

Na equação geral ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c) = (3,-2,1). O distrator (3,-2,-5) inclui indevidamente o termo constante d como se fosse componente do vetor normal.

Gabarito: B) Paralelos e distintos

Os vetores normais são (2,-1,3) e (4,-2,6) = 2·(2,-1,3), ou seja, proporcionais, o que indica planos paralelos. Como as equações não são múltiplas consistentes uma da outra (1 e 5/2 não coincidem com o fator 2), os planos são paralelos e distintos, não coincidentes.

Gabarito: C) Perpendiculares, pois n1·n2 = 0

Os vetores normais são n1=(1,2,-1) e n2=(3,-1,1). O produto escalar n1·n2 = 3-2-1 = 0, logo os planos são perpendiculares. Planos paralelos exigiriam normais proporcionais, o que não ocorre aqui.

Gabarito: D) Paraboloide elíptico

A forma z = x²/a² + y²/b² (com sinais iguais nos dois termos quadráticos) descreve um paraboloide elíptico, com vértice na origem e abrindo-se ao longo do eixo z. Se os termos tivessem sinais opostos, seria um paraboloide hiperbólico (sela).

Gabarito: A) Centro (2,-1,3) e raio 4

Na forma (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r², o centro é (a,b,c) = (2,-1,3) e o raio é r = √16 = 4. O distrator com raio 16 esquece de extrair a raiz quadrada do termo à direita.

Gabarito: B) x + y + z = 1

Com AB=(-1,1,0) e AC=(-1,0,1), o normal é AB×AC = (1·1-0·0, 0·(-1)-(-1)·1, (-1)·0-1·(-1)) = (1,1,1). A equação é x+y+z=d; substituindo A(1,0,0): d=1. Logo x+y+z=1. Verifica-se que B e C também satisfazem essa equação.

Gabarito: E) 1/3

d = |1·1+2·1+2·1-4| / √(1²+2²+2²) = |1+2+2-4| / 3 = |1|/3 = 1/3. O distrator 3 inverte o numerador e o denominador da fórmula da distância.

Gabarito: D) r é paralela a π (sem interseção)

Como o vetor diretor de r é ortogonal ao normal de π (v·n = 1·2+2·(-1)+(-1)·0 = 0), a reta é paralela ou está contida no plano. Como o ponto de r testado não satisfaz a equação do plano, a reta não está contida nele — logo é paralela e não o intercepta.

Gabarito: E) Paraboloide hiperbólico (superfície de sela)

Quando os termos quadráticos em x e y têm sinais opostos na equação z = x²/a² - y²/b², a superfície é um paraboloide hiperbólico, também chamado de superfície de sela, pois se curva para cima em uma direção e para baixo na direção perpendicular.

Gabarito: C) (3, 4, -1)

Substituindo na equação do plano: (1+t)+(2t)+(1-t)-6=0, que se simplifica para 2t-4=0, logo t=2. Substituindo em r: x=3, y=4, z=-1, ou seja, o ponto (3,4,-1). O distrator (1,0,1) corresponde a t=0, que não satisfaz a equação do plano.

Gabarito: A) Uma circunferência de raio 4, centrada em (0,0,3)

Substituindo z=3 na equação da esfera: x²+y²+9=25, logo x²+y²=16, que é uma circunferência de raio 4 no plano z=3. O distrator raio 5 usa o raio da esfera sem descontar o efeito do plano z=3, e a opção de tangência estaria correta apenas se o plano fosse z=5 ou z=-5.

Gabarito: E) Sim, pois o vetor diretor é ortogonal ao normal e o ponto (1,1,1) satisfaz a equação do plano

O normal do plano é n=(1,1,0). O produto v·n = 1·1+(-1)·1+0·0 = 0, então a reta é paralela ao plano ou está contida nele. Testando o ponto (1,1,1) na equação: 1+1-2=0, satisfaz. Como um ponto da reta pertence ao plano e a direção é ortogonal ao normal, a reta inteira está contida no plano (vale para todo t, não apenas t=0).