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Como resolver questões de Geometria Analítica
Estudo de retas e circunferências no plano cartesiano usando coordenadas: distância entre pontos, ponto médio, coeficiente angular e equações de reta e circunferência. As questões costumam pedir para montar equações a partir de condições geométricas ou identificar posições relativas entre figuras.
Conceitos-chave
- Distância entre dois pontos:
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)²) - Ponto médio:
M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) - Coeficiente angular:
m = (y2−y1)/(x2−x1) - Equação reduzida da reta:
y = mx + n - Retas paralelas:
m1 = m2; retas perpendiculares:m1·m2 = −1 - Distância de ponto a reta:
d = (|a·x0 + b·y0 + c|)/(√(a²+b²)), para retaax+by+c=0 - Equação da circunferência:
(x−a)² + (y−b)² = r², centro(a,b)e raior
Passo a passo
- Identifique os dados fornecidos (pontos, retas, condições geométricas) e o que exatamente é pedido, para saber qual fórmula usar em seguida.
- Se envolver retas, calcule o coeficiente angular
ma partir de dois pontos ou da equação dada, pois é ele que define a inclinação da reta. - Monte a equação da reta usando
y − y1 = m(x − x1)e simplifique até a forma pedida (reduziday=mx+nou geralax+by+c=0). - Se envolver circunferência, identifique centro e raio (complete quadrados se a equação estiver na forma geral, transformando-a em
(x−a)² + (y−b)² = r²). - Para posições relativas (interseção de retas, reta e circunferência), resolva o sistema substituindo uma equação na outra, reduzindo o problema a uma única variável.
- Para paralelismo ou perpendicularismo, compare os coeficientes angulares (
m1=m2oum1·m2=−1), sem precisar calcular pontos de interseção. - Confira substituindo os valores encontrados nas equações originais para validar o resultado.
Exemplo resolvido
Enunciado: Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(1, 2) e é perpendicular à reta r: 2x − y + 3 = 0. Em seguida, calcule a distância do ponto A até a reta r.
- Isolando y em r:
2x − y + 3 = 0→y = 2x + 3. Comparando comy=mx+n, o coeficiente angular de r ém_r = 2. - Como s é perpendicular a r, usamos a condição
m_s = (−1)/m_r(inverso e troca de sinal):m_s = (−1)/2. - Com o coeficiente angular de s e o ponto
A(1,2), aplicamos a equação ponto-coeficiente angular:y − 2 = (−1)/2·(x − 1). - Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2y − 4 = −(x − 1) = −x + 1. - Reorganizando todos os termos para o lado esquerdo, obtemos a forma geral:
x + 2y − 5 = 0. - Para a distância, identificamos em r:
a=2, b=−1, c=3e aplicamosd = (|a·x0+b·y0+c|)/(√(a²+b²))com(x0,y0)=(1,2). - Substituindo:
d = (|2(1) − 1(2) + 3|)/(√(2²+(−1)²)) = (|2−2+3|)/(√(5)) = 3/(√(5)). - Racionalizando o denominador:
d = 3/(√(5)) = (3√(5))/5 ≈ 1,34.
Resposta: Reta s: x + 2y − 5 = 0; distância de A até r = (3√(5))/5 (≈ 1,34)
Dicas e pegadinhas
- Perpendicular usa
m2 = (−1)/m1(inverso e troca de sinal), não apenasm2 = −m1. - Na fórmula da distância ponto-reta, a equação da reta precisa estar na forma geral
ax+by+c=0antes de aplicar a fórmula. - Ao completar quadrado para achar centro e raio da circunferência, não esquecer de ajustar a constante do outro lado da igualdade.
- Não confundir coeficiente angular (inclinação,
m) com coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y,n).