12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
A circunferência de equação (x + 1)² + (y − 4)² = 36 tem raio igual a:
Gabarito: E) 6
Como r² = 36, temos r = √36 = 6. Erro comum: responder diretamente o valor 36 (o próprio r², e não o raio), marcando a alternativa A.
A equação da circunferência com centro na origem e raio 7 é:
Gabarito: C) x² + y² = 49
Com centro na origem, a equação reduz-se a x² + y² = r² = 7² = 49. Erro comum: esquecer de elevar o raio ao quadrado e escrever x² + y² = 7 (alternativa A).
O ponto P(3, 4) está em relação à circunferência x² + y² = 25:
Gabarito: B) sobre a circunferência
Substituindo: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, que é exatamente igual ao raio ao quadrado (25). Logo o ponto satisfaz a equação e está sobre a circunferência. Erro comum: calcular 3²+4²=25 e comparar apenas com o valor de r (5, e não r²=25), concluindo erroneamente que o ponto está 'fora' por 25 > 5 (alternativa A).
Qual das equações abaixo representa efetivamente uma circunferência no plano cartesiano?
Gabarito: D) (x−1)² + (y+2)² = 9
A equação (x−1)² + (y+2)² = 9 tem a forma (x−a)²+(y−b)²=r² com r²=9>0, representando uma circunferência de raio 3. Em x²+y²=0 o 'raio' seria zero (um único ponto, não uma circunferência); em x²+y²+10=0 o raio ao quadrado seria negativo (não existe no plano real); x²+2y²=9 é uma elipse; x²−y²=4 é uma hipérbole. Erro comum: confundir x²+y²=0 com uma circunferência válida só porque tem a forma geral, sem perceber que ela degenera em um ponto único, escolhendo a alternativa A.
Qual é a equação da circunferência de centro C(1, −2) e raio 3?
Gabarito: A) (x−1)² + (y+2)² = 9
A equação reduzida é (x−a)² + (y−b)² = r², com a=1, b=−2 e r=3: (x−1)² + (y+2)² = 9. Erro comum: usar r em vez de r² no segundo membro, escrevendo (x−1)²+(y+2)² = 3 (alternativa C).
A reta 3x + 4y − 25 = 0 em relação à circunferência x² + y² = 25 é:
Gabarito: C) tangente à circunferência
A circunferência tem centro (0,0) e raio 5. A distância do centro à reta é d = |3·0+4·0−25|/√(3²+4²) = 25/5 = 5, que é igual ao raio. Logo a reta é tangente à circunferência. Erro comum: calcular a distância corretamente, mas comparar com r² = 25 em vez de r = 5, concluindo que d < r² e classificando a reta como secante (alternativa A).
Para que a equação x² + y² − 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência real (não degenerada), o valor de k deve satisfazer:
Gabarito: D) k < 5
Completando quadrados: (x−1)² + (y+2)² = 5 − k. Para que isso represente uma circunferência real, é preciso que o raio ao quadrado seja positivo: 5 − k > 0, ou seja, k < 5. Erro comum: inverter a desigualdade ao isolar k, concluindo k > 5 (alternativa A).
Uma circunferência tem centro C(2, −1) e passa pelo ponto P(5, 3). A equação dessa circunferência é:
Gabarito: B) (x−2)² + (y+1)² = 25
O raio é a distância de C a P: r = √[(5−2)²+(3−(−1))²] = √(9+16) = √25 = 5, logo r² = 25. A equação é (x−2)²+(y+1)²=25. Erro comum: calcular corretamente r=5, mas usar r em vez de r² na equação final, escrevendo (x−2)²+(y+1)²=5 (alternativa A).
Os pontos A(1, 1) e B(7, 9) são extremidades de um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é:
Gabarito: B) (x−4)² + (y−5)² = 25
O centro é o ponto médio de AB: C = (4, 5). O diâmetro é AB = √(6²+8²) = 10, logo o raio é 5 e r²=25. Equação: (x−4)²+(y−5)²=25. Erro comum: usar o próprio diâmetro (10) como raio ao quadrado, escrevendo (x−4)²+(y−5)²=100 (alternativa D), sem dividir por 2 antes de elevar ao quadrado.
A equação geral x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 representa uma circunferência de centro e raio, respectivamente:
Gabarito: A) C(3, −2) e r = 5
Completando quadrados: x²−6x+9 + y²+4y+4 = 12+9+4 → (x−3)² + (y+2)² = 25. Logo centro (3, −2) e r = √25 = 5. Erro comum: completar corretamente os quadrados, mas esquecer de extrair a raiz quadrada de 25, respondendo r = 25 (alternativa D).
As retas r: x + y = 5 e s: x − y = 1 se interceptam em um ponto P. A equação da reta que passa por P e é perpendicular à reta t: x + 2y − 4 = 0 é:
Gabarito: C) y = 2x − 4
Resolvendo o sistema: somando as equações, 2x = 6 → x = 3 e y = 2, logo P(3, 2). A reta t tem m = −1/2, então a perpendicular tem m' = 2. Substituindo P: 2 = 2·3 + n → n = −4. Logo y = 2x − 4. Erro comum: encontrar corretamente P(3,2) e m' = 2, mas errar o sinal ao isolar n, chegando a y = 2x + 4 (alternativa B).
Uma circunferência tem centro na origem e é tangente à reta 3x − 4y + 20 = 0. A equação dessa circunferência é:
Gabarito: D) x² + y² = 16
Como a reta é tangente, o raio é igual à distância do centro (0,0) até a reta: r = |3·0−4·0+20|/√(3²+4²) = 20/5 = 4. Logo r² = 16 e a equação é x²+y²=16. Erro comum: esquecer de dividir pela norma √(a²+b²)=5 e usar diretamente o valor absoluto do termo independente (20) como raio ao quadrado, escrevendo x²+y²=20 (alternativa A).
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
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