Matemática

Como resolver questões de Matrizes e Sistemas Lineares

Cobre operações com matrizes (soma, multiplicação, determinante) e resolução/classificação de sistemas lineares usando escalonamento ou a Regra de Cramer.

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Conceitos-chave

Ordem de uma matriz m×n: m linhas, n colunas
Multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; o elemento (AB)ᵢⱼ é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B
Determinante 2×2: det = a11·a22 − a12·a21
Determinante 3×3: Regra de Sarrus
Regra de Cramer: xi = (det(Ai))/(det(A)), onde Ai troca a coluna i de A pelos termos independentes
Classificação: det(A)≠0 → sistema possível determinado (SPD); det(A)=0 com algum det(Ai)≠0 → impossível (SI); det(A)=0 com todos det(Ai)=0 → possível indeterminado (SPI)

Passo a passo

Identificar o que é pedido: operação matricial (soma/produto/determinante) ou resolução/classificação de sistema linear.
Para sistemas: organizar as equações na mesma ordem de variáveis e montar a matriz dos coeficientes A e a coluna dos termos independentes.
Calcular det(A). Se det(A)≠0, o sistema é SPD (solução única) e pode-se resolver por Cramer ou por escalonamento.
Aplicar Cramer: para cada variável, trocar a coluna correspondente pelos termos independentes, calcular o novo determinante det(Ai) e dividir por det(A).
Se det(A)=0, verificar os det(Ai): todos iguais a zero indica SPI (infinitas soluções); algum diferente de zero indica SI (nenhuma solução).
Conferir a solução substituindo os valores encontrados de volta nas equações originais — as duas igualdades devem se confirmar.

Exemplo resolvido

Enunciado: Resolva o sistema pela Regra de Cramer: 2x + y = 7 e x − 3y = −7. Determine x e y.

Montar a matriz dos coeficientes na ordem x, y: A = [2,1; 1,−3] (linha 1 vem da 1ª equação, linha 2 da 2ª).
Calcular det(A): produto da diagonal principal menos o da secundária: det(A) = 2·(−3) − 1·1 = −6−1 = −7.
Para achar x, trocar a 1ª coluna de A pelos termos independentes (7 e −7): Ax = [7,1; −7,−3].
Calcular det(Ax) = 7·(−3) − 1·(−7) = −21+7 = −14.
Aplicar Cramer: x = (det(Ax))/(det(A)) = (−14)/(−7) = 2.
Para achar y, trocar a 2ª coluna de A: Ay = [2,7; 1,−7], com det(Ay) = 2·(−7) − 7·1 = −14−7 = −21.
Aplicar Cramer: y = (det(Ay))/(det(A)) = (−21)/(−7) = 3.
Conferência nas equações originais: 2(2)+3 = 7 ✓ e 2−3(3) = 2−9 = −7 ✓.

Resposta: x = 2, y = 3

Dicas e pegadinhas

Multiplicação de matrizes não é comutativa: em geral AB ≠ BA.
Na Regra de Cramer, cuidado para trocar a coluna certa pela variável certa (1ª coluna para x, 2ª para y), mantendo a mesma ordem das equações usada em A.
det(A)=0 não significa automaticamente 'sem solução' — é preciso checar os det(Ai) para diferenciar SPI de SI.
No determinante 2×2, lembre-se de que se SUBTRAI o produto da diagonal secundária, não se soma.

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