12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Se A = [2, 5 ; -1, 3] e B = [6, 1 ; 4, -2], qual é a matriz A − B?
Gabarito: B) [-4, 4 ; -5, 5]
A subtração é feita elemento a elemento: A−B = [2−6, 5−1 ; −1−4, 3−(−2)] = [−4, 4 ; −5, 5]. Erro comum: calcular B−A em vez de A−B, invertendo os sinais de todos os elementos (alternativa C), ou somar as matrizes por engano (alternativa A).
Sejam A = [1, 3 ; 2, 5] e B = [4, -1 ; 0, 2]. Qual é a matriz A + B?
Gabarito: A) [5, 2 ; 2, 7]
A soma de matrizes é feita elemento a elemento: A+B = [1+4, 3+(−1) ; 2+0, 5+2] = [5, 2 ; 2, 7]. Erro comum: subtrair em vez de somar (alternativa B), confundindo a operação pedida.
Qual é o resultado de 3·A, sendo A = [2, -1 ; 0, 4]?
Gabarito: C) [6, -3 ; 0, 12]
Na multiplicação de uma matriz por um escalar, cada elemento é multiplicado pelo número: 3·A = [3×2, 3×(−1) ; 3×0, 3×4] = [6, −3 ; 0, 12]. Erro comum: multiplicar apenas alguns elementos, como em E, esquecendo de aplicar o escalar a toda a matriz.
Classifique o sistema: 2x + y = 5 ; 4x + 2y = 10, quanto ao número de soluções.
Gabarito: C) possível e indeterminado (infinitas soluções)
Note que a segunda equação é a primeira multiplicada por 2 (2×(2x+y=5) = 4x+2y=10), ou seja, as duas equações representam a mesma reta. Assim, o sistema é possível e indeterminado (SPI), com infinitas soluções. Erro comum: classificar como impossível (alternativa B), confundindo retas coincidentes com retas paralelas distintas.
Classifique o sistema: x + 2y = 4 ; x + 2y = 9, quanto ao número de soluções.
Gabarito: D) impossível (não admite solução)
As duas equações têm o mesmo primeiro membro (x+2y) mas resultados diferentes (4 e 9), o que é uma contradição: não existe par (x,y) que satisfaça as duas ao mesmo tempo. O sistema é impossível (SI), representando geometricamente duas retas paralelas distintas. Erro comum: classificar como indeterminado (alternativa B), confundindo a ausência de solução com a existência de infinitas soluções.
Sejam A = [1, 2 ; 3, 4] e B = [2, 0 ; 1, 5]. Qual é o produto A×B?
Gabarito: D) [4, 10 ; 10, 20]
Multiplicando linha por coluna: primeiro elemento = (1×2)+(2×1)=4; depois (1×0)+(2×5)=10; (3×2)+(4×1)=10; (3×0)+(4×5)=20, resultando em [4, 10 ; 10, 20]. Erro comum: multiplicar na ordem trocada (B×A), esquecendo que a multiplicação de matrizes não é comutativa, como em A.
Qual é o determinante da matriz D = [4, 2 ; 6, 3]?
Gabarito: C) 0
det(D) = 4×3 − 2×6 = 12−12 = 0. Isso ocorre porque a segunda linha (6, 3) é igual à primeira linha (4, 2) multiplicada por 1,5, ou seja, as linhas são proporcionais. Erro comum: multiplicar corretamente 4×3 e 2×6, mas somar os resultados em vez de subtrair, obtendo 24 (alternativa B).
Qual é a matriz inversa de A = [2, 0 ; 0, 5]?
Gabarito: B) [1/2, 0 ; 0, 1/5]
Para uma matriz diagonal, a inversa é obtida invertendo cada elemento da diagonal principal (mantendo os zeros fora dela): A⁻¹ = [1/2, 0 ; 0, 1/5]. Podemos confirmar: A × A⁻¹ = [2×1/2, 0 ; 0, 5×1/5] = [1, 0 ; 0, 1] = I. Erro comum: apenas trocar os elementos da diagonal entre si sem inverter seus valores, obtendo [5, 0 ; 0, 2] (alternativa A).
Usando a fórmula A⁻¹ = (1/det A)·[d, -b ; -c, a], válida para A = [a, b ; c, d], calcule a matriz inversa de A = [3, 2 ; 4, 3].
Gabarito: C) [3, -2 ; -4, 3]
Como det(A) = 3×3 − 2×4 = 9−8 = 1, a inversa é A⁻¹ = (1/1)×[3, −2 ; −4, 3] = [3, −2 ; −4, 3], trocando os elementos da diagonal principal entre si e invertendo o sinal dos elementos da diagonal secundária. Erro comum: inverter cada elemento individualmente (1/a, 1/b, 1/c, 1/d), como em D, em vez de aplicar a fórmula correta da matriz adjunta dividida pelo determinante.
Calcule o determinante da matriz A = [1, 2, 0 ; 3, 1, -1 ; 0, 2, 4] pela regra de Sarrus.
Gabarito: C) -18
Aplicando Sarrus (repetindo as duas primeiras colunas ao lado da matriz): somamos os produtos das diagonais principais (1×1×4 + 2×(−1)×0 + 0×3×2 = 4) e subtraímos a soma das diagonais secundárias (0×1×0 + 1×(−1)×2 + 2×3×4 = 0−2+24 = 22), resultando em 4−22 = −18. Erro comum: trocar o sinal final e responder 18 (alternativa A), esquecendo de subtrair corretamente as diagonais secundárias das principais.
Em uma loja, 2 camisetas e 3 bonés custam R$ 116, enquanto 4 camisetas e 1 boné custam R$ 112. Montando e resolvendo o sistema, quais são o preço de uma camiseta e o preço de um boné, respectivamente?
Gabarito: E) camiseta = R$ 22, boné = R$ 24
Chamando de c o preço da camiseta e b o preço do boné, montamos o sistema: 2c+3b=116 e 4c+b=112. Isolando b na segunda equação: b=112−4c. Substituindo na primeira: 2c+3(112−4c)=116 → 2c+336−12c=116 → −10c=−220 → c=22. Logo, b=112−4×22=24. Erro comum: montar o sistema corretamente, mas trocar as variáveis ao dar a resposta final, informando os valores de c e b invertidos (alternativa A).
Determine os valores de x para os quais o determinante da matriz A = [x, 3 ; 2, x] é igual a 10.
Gabarito: D) x = 4 ou x = -4
det(A) = x×x − 3×2 = x² − 6. Igualando a 10: x² − 6 = 10 → x² = 16 → x = 4 ou x = −4. Erro comum: errar o sinal do produto 3×2 e calcular det(A) = x² + 6, chegando à equação x²+6=10 → x²=4 → x=±2 (alternativa A).
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
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