Como resolver questões de Números Complexos

Conceitos-chave

• Forma algébrica: z = a + bi, com i² = −1, a = Re(z), b = Im(z)
• Módulo: |z| = √(a²+b²)
• Forma trigonométrica: z = |z|·(cos θ + i·sen θ), onde cos θ = a/(|z|) e sen θ = b/(|z|)
• Multiplicação/divisão na forma trigonométrica: multiplica (ou divide) módulos e soma (ou subtrai) argumentos
• Fórmula de De Moivre: z^n = |z|^n · (cos(nθ) + i·sen(nθ))
• Raízes n-ésimas: w_k = |z|^(1/n) · [cos((θ+2kπ)/n) + i·sen((θ+2kπ)/n)], k = 0, 1, ..., n−1
• Potências de i são cíclicas: i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1, repetindo a cada 4

Passo a passo

1. Identifique se o problema é mais simples na forma algébrica (soma, subtração) ou trigonométrica (potência, raiz), pois cada forma facilita um tipo de operação.
2. Para converter para forma trigonométrica, calcule o módulo |z| e o argumento θ, prestando atenção ao quadrante de (a,b) para escolher o ângulo correto.
3. Para potências altas, use De Moivre (z^n = |z|^n·(cos(nθ)+i·sen(nθ))) em vez de multiplicar z por si mesmo várias vezes — é muito mais rápido.
4. Para raízes n-ésimas, aplique a fórmula de radiciação variando k de 0 até n−1, obtendo todas as n raízes distintas.
5. Converta o resultado de volta para a forma algébrica se o enunciado pedir, usando os valores de cosseno e seno dos ângulos notáveis.
6. Confira o resultado calculando o módulo da resposta e comparando com o valor esperado (|z|^n, por exemplo).

Dicas e pegadinhas

• Ao calcular o argumento, verifique o quadrante de (a,b) — usar arco-tangente sem checar os sinais leva a ângulo errado.
• Não esqueça de elevar o módulo à potência também (|z|^n), não apenas multiplicar o ângulo por n.
• Nas raízes, é essencial somar 2kπ (ou 360°·k) ao argumento antes de dividir por n, senão só se encontra uma raiz.
• i² = −1 e não +1 — esse é o erro mais comum em simplificações envolvendo potências de i.