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Como resolver questões de Polinômios e Equações Algébricas
Operações com polinômios, divisão por Briot-Ruffini, Teorema do Resto, Relações de Girard e busca de raízes racionais. As questões costumam pedir para encontrar todas as raízes de um polinômio a partir de raízes conhecidas ou usando as relações entre coeficientes e raízes.
Conceitos-chave
- Grau do polinômio: maior expoente com coeficiente não nulo
- Teorema do Resto: o resto da divisão de
P(x)por(x−r)éP(r) - Teorema de D'Alembert:
(x−r)é fator deP(x)⟺P(r) = 0 - Briot-Ruffini: dispositivo prático para dividir
P(x)por(x−r), reduzindo o grau do polinômio - Relações de Girard (polinômio de grau
n, coeficiente líderaₙ): soma das raízes =(−aₙ₋₁)/(aₙ); produto das raízes =(−1)ⁿ·(a₀)/(aₙ) - Teorema das raízes racionais: se
p/q(fração irredutível) é raiz deP(x)com coeficientes inteiros,pdivide o termo independente eqdivide o coeficiente líder
Passo a passo
- Verifique o grau do polinômio: ele indica quantas raízes existem (contando multiplicidade e complexas), ajudando a saber quando parar de fatorar.
- Se for pedido encontrar raízes racionais, liste candidatos
p/qcompdivisor do termo independente eqdivisor do coeficiente líder. - Teste os candidatos usando o Teorema do Resto (calcule
P(r); se der0,ré raiz), começando pelos valores mais simples, como ±1. - Encontrada uma raiz
r, aplique Briot-Ruffini para reduzir o polinômio de graunpara graun−1, simplificando a busca pelas raízes restantes. - Repita o processo até restar um polinômio de grau 2, resolvido por fórmula de Bhaskara ou fatoração direta.
- Use as Relações de Girard quando o problema pedir soma ou produto das raízes sem exigir resolvê-las todas — economiza tempo.
- Confira substituindo cada raiz encontrada de volta no polinômio original.
Exemplo resolvido
Enunciado: Sabendo que x = 2 é raiz do polinômio P(x) = x³ − 4x² + x + 6, determine todas as raízes de P(x).
- Confirmando que
x=2é raiz, calculamosP(2) = 2³ − 4·2² + 2 + 6. - Fazendo as contas:
P(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0, logox=2é raiz de fato. - Aplicando Briot-Ruffini com
r=2sobre os coeficientes1, −4, 1, 6: o primeiro coeficiente é apenas trazido para baixo, resultando em1. - Continuando o dispositivo:
1·2 + (−4) = −2; depois−2·2 + 1 = −3; depois−3·2 + 6 = 0(resto zero confirma novamente quer=2é raiz). - Os números que sobraram,
1, −2, −3, são os coeficientes do quociente:x² − 2x − 3. - Resolvendo
x² − 2x − 3 = 0por Bhaskara:Δ = (−2)² − 4·1·(−3) = 4+12 = 16. - As raízes do quociente são
x = (2 ± 4)/2, ou seja,x = 3oux = −1. - Verificação por Girard: soma das três raízes =
2+3+(−1) = 4, que deve ser igual a(−a₂)/(a₃) = (−(−4))/1 = 4✓.
Resposta: As raízes de P(x) são x = 2, x = 3 e x = −1
Dicas e pegadinhas
- O sinal na relação do produto das raízes depende da paridade do grau:
(−1)ⁿ·(a₀)/(aₙ)— cuidado ao aplicar em graus ímpares. - Em Briot-Ruffini, o primeiro coeficiente é apenas 'trazido para baixo' sem operação; o erro comum é já multiplicar por
rnele. - Teste apenas os candidatos a raiz racional previstos pelo teorema (divisores do termo independente sobre divisores do líder), não qualquer número.
- Não confundir grau do polinômio (maior expoente) com número de termos ou de coeficientes.