12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
No polinômio P(x) = −2x⁵ + x⁴ − 3x + 8, qual é o coeficiente líder (do termo de maior grau)?
Gabarito: C) -2
Coeficiente líder é o do termo de maior grau (x⁵), que é −2. Erro comum: alternativa E, confundir o coeficiente líder com o próprio grau do polinômio (5).
Sejam A(x) = 3x² − 2x + 5 e B(x) = −x² + 4x − 1. Calcule A(x) + B(x).
Gabarito: D) 2x² + 2x + 4
Somando termo a termo: (3−1)x²=2x², (−2+4)x=2x, (5−1)=4. Erro comum: alternativa B, somar os coeficientes em módulo (3+1=4 e 5+1=6) em vez de considerar os sinais corretamente.
O resto da divisão de P(x) = 2x³ + x² − 5x + 3 por (x + 1) é:
Gabarito: C) 7
Como x+1 = x−(−1), o resto é P(−1) = 2(−1)³+(−1)²−5(−1)+3 = −2+1+5+3 = 7. Erro comum: alternativa B, calcular P(1) em vez de P(−1), confundindo o sinal da raiz associada ao divisor x+1.
Sendo P(x) = x² − 5x + 6, calcule P(2).
Gabarito: C) 0
P(2)=2²−5(2)+6=4−10+6=0. Erro comum: alternativa E, trocar o sinal do termo −5x para +5x, obtendo 4+10+6=20.
A equação (x − 2)(x + 5)(x − 1) = 0 tem como conjunto solução:
Gabarito: D) {2, -5, 1}
Cada fator igualado a zero fornece uma raiz: x−2=0→x=2; x+5=0→x=−5; x−1=0→x=1. Erro comum: alternativa B, esquecer de trocar o sinal ao isolar x no fator (x+5), respondendo 5 em vez de −5.
Dividindo P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 por (x − 1) usando o dispositivo de Briot-Ruffini, o quociente obtido é:
Gabarito: D) x² - x - 6
Aplicando Briot-Ruffini com raiz 1: coeficientes 1,−1,−6 e resto 0, logo quociente x²−x−6. Erro comum: alternativa E, repetir incorretamente os coeficientes originais sem realizar a soma correta a cada passo do dispositivo.
Resolva a equação x³ − 6x² + 3x + 10 = 0 sabendo que todas as raízes são inteiras.
Gabarito: C) -1, 2 e 5
Testando os divisores de 10 (±1,±2,±5,±10) pelo Teorema das Raízes Racionais, verifica-se que −1, 2 e 5 anulam o polinômio. Erro comum: alternativa B, parar de testar após encontrar duas raízes corretas (−1 e 2) e completar erroneamente com outro divisor (10) sem verificar se de fato é raiz.
Resolva a equação x⁴ − 13x² + 36 = 0.
Gabarito: A) x = ±2 ou x = ±3
Fazendo y=x², a equação vira y²−13y+36=0, cujas raízes são y=4 e y=9; retornando a x: x²=4→x=±2 e x²=9→x=±3. Erro comum: alternativa B, usar diretamente os valores de y (4 e 9) como se já fossem as soluções em x, sem extrair a raiz quadrada.
Sabendo que P(x) tem grau 5 e Q(x) tem grau 3, determine o grau de P(x) + Q(x).
Gabarito: D) 5
Quando os polinômios têm graus diferentes, o grau da soma é igual ao maior dos dois graus (aqui, 5), pois o termo de maior grau não é cancelado. Erro comum: alternativa A, somar os graus (5+3=8) como se fizesse na multiplicação.
Sabendo que x = 6 é raiz de x³ − 7x² + 4x + 12 = 0, determine as demais raízes.
Gabarito: D) 2 e -1
Dividindo por (x−6) obtém-se o quociente x²−x−2, cujas raízes são 2 e −1 (fatorando (x−2)(x+1)). Erro comum: alternativa A, trocar os sinais das raízes obtidas na fatoração do quociente.
Considere as afirmações sobre o polinômio P(x) = 4x³ − x² + 5: I. O grau de P(x) é 3. II. O coeficiente do termo de grau 1 é 0. III. P(0) = 5. IV. P(x) é identicamente nulo. Estão corretas:
Gabarito: B) Apenas I, II e III
I é verdadeira, pois o maior expoente é 3. II é verdadeira, pois o termo em x não aparece explicitamente, logo seu coeficiente é 0. III é verdadeira, pois P(0)=4·0−0+5=5. IV é falsa, pois P(x) não é identicamente nulo. Erro comum: alternativa D, considerar todas as afirmações verdadeiras, incluindo erroneamente IV, por não perceber a diferença entre ter termos não nulos e ser identicamente nulo.
Sabendo que o polinômio P(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x − 15 tem x = 1+2i como raiz, determine todas as raízes reais de P(x).
Gabarito: B) 3 e -1
Como os coeficientes são reais, 1−2i também é raiz; o fator quadrático correspondente é x²−2x+5. Dividindo P(x) por esse fator obtém-se o quociente x²−2x−3=(x−3)(x+1), cujas raízes reais são 3 e −1. Erro comum: alternativa A, trocar os sinais das raízes reais encontradas na fatoração final.
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU