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Como resolver questões de Probabilidade e Análise Combinatória
Aprofunda combinatória e probabilidade: permutações e combinações com repetição, probabilidade condicional mais elaborada, eventos independentes, e o Binômio de Newton relacionado à combinatória.
Conceitos-chave
- Permutação com repetição:
Pn^(a,b,...) = (n!)/(a!·b!·...), quando há elementos repetidos entre osn - Combinação com repetição (combinação completa):
CR(n,p) = C(n+p−1, p) - Eventos independentes:
P(A∩B) = P(A)·P(B)— só vale seAeBforem realmente independentes - Probabilidade condicional:
P(A|B) = (P(A∩B))/(P(B)); logoP(A∩B) = P(A|B)·P(B), mesmo quando dependentes - Eventos complementares:
P(A) + P(Aᶜ) = 1 - Binômio de Newton:
(x+y)^n = Σ C(n,k)·x^(n−k)·y^kparakde0atén - Termo geral do binômio:
Tk+1 = C(n,k)·x^(n−k)·y^k
Passo a passo
- Classificar o problema: contagem com repetição de elementos, probabilidade condicional/independente, ou expansão binomial.
- Em contagem: verificar se há elementos repetidos na sequência (permutação com repetição) ou se a escolha permite repetir itens de um grupo (combinação com repetição).
- Em probabilidade: identificar se os eventos são independentes (a ocorrência de um não afeta o outro) ou dependentes, e o que exatamente é pedido:
P(A∩B),P(A|B)ouP(A∪B). - Montar a fórmula correta conforme a classificação (independência multiplica diretamente; dependência exige a fórmula condicional).
- No Binômio de Newton, identificar
n,x,ye o termo pedido (k), aplicando o termo geralTk+1 = C(n,k)·x^(n−k)·y^k. - Calcular com cuidado os fatoriais e coeficientes binomiais, simplificando a fração final se o resultado for uma probabilidade.
Exemplo resolvido
Enunciado: No desenvolvimento de (x+2)^5, qual é o coeficiente do termo em x³?
- O termo geral do desenvolvimento de
(x+2)^5éTk+1 = C(5,k)·x^(5−k)·2^k. - Queremos o termo em
x³, então o expoente dexdeve ser3:5−k = 3. - Isolando
k:k = 5−3 = 2. - Calcular o coeficiente binomial
C(5,2) = (5!)/(2!·3!). - Abrindo os fatoriais:
5! = 5·4·3·2·1 = 120,2! = 2·1 = 2e3! = 3·2·1 = 6. - Substituindo:
C(5,2) = 120/(2·6) = 120/12 = 10. - O coeficiente do termo é
C(5,2)·2² = 10×4. - Calculando:
10×4 = 40.
Resposta: 40
Dicas e pegadinhas
- No Binômio de Newton, o expoente de
xdiminui e o deyaumenta conformekcresce — cuidado para não inverter qual termo recebe o expoente(n−k). - Eventos independentes têm
P(A∩B)=P(A)·P(B); não aplique essa multiplicação direta se o enunciado deixar claro que um evento depende do outro (ex.: retiradas sem reposição). - Na permutação com repetição, é preciso dividir pelo fatorial de CADA grupo de elementos repetidos — esquecer um dos fatoriais no denominador é um erro comum.
- Combinação com repetição (
CR) é diferente de combinação simples: usa-se quando o mesmo item pode ser escolhido mais de uma vez (ex.: escolher3sabores de sorvete podendo repetir sabor).