BENSHUUMatemática
Como resolver questões de Sequências Numéricas (PA e PG)
Cobre progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG) em profundidade — termo geral, soma dos termos finitos e soma da PG infinita — com problemas mais elaborados que exigem montar equações a partir de termos dados.
Conceitos-chave
- PA: termo geral
aₙ = a₁ + (n−1)·r, onderé a razão (diferença entre termos consecutivos) - PA: soma dos n primeiros termos
Sₙ = ((a₁+aₙ)·n)/2 - PG: termo geral
aₙ = a₁·q^(n−1), ondeqé a razão (quociente entre termos consecutivos) - PG: soma dos n primeiros termos (
q≠1):Sₙ = (a₁·(q^n − 1))/((q − 1)) - PG infinita (só existe se
|q|<1):S∞ = (a₁)/((1−q)) - Três termos em PA (a,b,c):
2b = a+c(b é média aritmética). Três termos em PG (a,b,c):b² = a·c - Para achar
qourcom dois termos não consecutivos, dividir/subtrair as equações do termo geral costuma eliminara₁
Passo a passo
- Identificar se a sequência é PA (diferença constante entre termos) ou PG (quociente constante entre termos) — repare no enunciado se ele soma ou multiplica de termo a termo.
- Extrair do enunciado os dados disponíveis:
a₁,rouq,n, ou termos específicos indicados por posição (ex.: 'o 2º termo é...'). - Se faltarem
a₁er(ouq), montar um sistema aplicando o termo geral aos termos conhecidos — cada termo dado vira uma equação. - Resolver o sistema: dividir as duas equações (em PG) ou subtraí-las (em PA) costuma eliminar
a₁e isolar a razão rapidamente. - Com a razão em mãos, aplicar a fórmula pedida: termo específico, soma finita
Sₙ, ou soma infinitaS∞(só se PG com|q|<1). - Conferir se a resposta é coerente: PG infinita só converge com
|q|<1; substitua os termos calculados de volta nos dados originais do enunciado para checar.
Exemplo resolvido
Enunciado: Numa progressão geométrica crescente, o segundo termo é 6 e o quinto termo é 162. Determine a soma dos 4 primeiros termos dessa PG.
- Como é PG, o termo geral é
aₙ = a₁·q^(n−1). Usando o 2º e o 5º termos:a₂ = a₁·q = 6ea₅ = a₁·q⁴ = 162. - Para eliminar
a₁, dividira₅pora₂:(a₅)/(a₂) = (q⁴)/q = q³, logoq³ = 162/6 = 27. - Extraindo a raiz cúbica:
q = ∛27 = 3(a PG é crescente, entãoqpositivo e maior que 1 faz sentido). - Substituindo
q = 3ema₁·q = 6:a₁ = 6/3 = 2. - Os quatro primeiros termos são
2, 6, 18, 54(confira:a₂ = 2·3 = 6ea₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162, batendo com o enunciado). - Aplicar a fórmula da soma finita:
S₄ = (a₁·(q⁴−1))/((q−1)). - Substituindo os valores:
S₄ = 2·((3⁴−1))/((3−1)) = 2·((81−1))/2 = 2·80/2. - Calculando o resultado final:
S₄ = 160/2 = 80.
Resposta: S₄ = 80
Dicas e pegadinhas
- Não confunda PA com PG: teste se a diferença entre termos é constante (PA) ou se o quociente é constante (PG) antes de escolher a fórmula.
- Na soma infinita de PG, sempre verifique
|q|<1; se não, a soma não existe (a série diverge). - Ao montar um sistema com dois termos dados, dividir as equações (em PG) ou subtrair (em PA) elimina
a₁e isola a razão mais rápido que substituição direta. - Em PA/PG decrescente, a razão pode ser negativa (PA) ou estar entre 0 e 1 (PG) — não assuma que a razão é sempre positiva e maior que 1.