12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Considere a PA (−10, −6, −2, 2, ...). Essa progressão é classificada como:
Gabarito: B) crescente
A razão é r = −6 − (−10) = 4. Como r > 0, a PA é crescente. Um erro comum é se confundir com o sinal negativo do primeiro termo e classificar a sequência como decrescente sem calcular a razão.
Considere a PA (12, 7, 2, −3, ...). Essa progressão é classificada como:
Gabarito: A) decrescente
A razão da PA é r = 7 − 12 = −5. Como r < 0, a sequência é decrescente (cada termo é menor que o anterior). O erro comum é olhar apenas para os valores absolutos dos termos e concluir, erradamente, que a sequência é crescente.
Considere a PA com a₁ = −1 e r = 7. Qual é o valor do décimo primeiro termo (a₁₁)?
Gabarito: E) 69
Aplicando aₙ = a₁ + (n − 1)·r, obtemos a₁₁ = −1 + (11 − 1) × 7 = −1 + 70 = 69. A alternativa 76 surge do erro de calcular −1 + 11 × 7, usando n em vez de (n − 1).
Em uma PA de primeiro termo a₁ = 2 e razão r = 5, qual é o valor de a₂₀?
Gabarito: D) 97
Pela fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)·r, temos a₂₀ = 2 + (20 − 1) × 5 = 2 + 95 = 97. O valor 102 é obtido ao usar n = 20 em vez de (n − 1) = 19, um erro frequente entre estudantes que esquecem que o primeiro termo já corresponde a n = 1.
Uma PA tem primeiro termo a₁ = 10 e razão r = −3. Qual é o valor do nono termo (a₉)?
Gabarito: C) −14
Como aₙ = a₁ + (n − 1)·r, então a₉ = 10 + (9 − 1) × (−3) = 10 − 24 = −14. O valor −17 vem de usar n = 9 em vez de (n − 1) = 8 no cálculo, um erro comum na aplicação da fórmula.
Uma empresa investe anualmente uma fração do valor investido no ano anterior, formando uma PG infinita decrescente e convergente. O primeiro investimento foi de R$ 50.000,00, e a cada ano o valor investido é 1/5 do investido no ano anterior. Supondo esse padrão por infinitos anos, qual seria o total teórico investido (S∞)?
Gabarito: C) R$ 62.500,00
Como |q| = 1/5 < 1, usa-se S∞ = a₁/(1 − q) = 50000/(1 − 1/5) = 50000/(4/5) = 62.500. O valor R$ 40.000,00 corresponde ao erro de calcular a₁ × (1 − q) em vez de dividir por (1 − q).
Os números x, x + 4 e x + 16 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine o valor de x.
Gabarito: D) 2
Em uma PG de três termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos: (x + 4)² = x·(x + 16). Expandindo: x² + 8x + 16 = x² + 16x, logo 16 = 8x e x = 2. Com x = 2, os termos são 2, 6 e 18, de fato uma PG de razão 3. O valor 2/3 corresponde a um erro de sinal ao expandir o produto notável.
Deseja-se interpolar 3 meios geométricos entre 2 e 32, formando uma PG de 5 termos. Qual é a razão q dessa PG?
Gabarito: D) 2
Com k = 3 meios, há (k + 1) = 4 intervalos, logo q⁴ = 32/2 = 16, e q = ⁴√16 = 2. O valor 2,52 corresponde ao erro de usar k = 3 intervalos em vez de (k + 1) = 4, calculando ³√16.
A sequência (5, 11, 20, ...) representa:
Gabarito: C) nenhuma das duas (não é PA nem PG)
As diferenças entre termos consecutivos são 11 − 5 = 6 e 20 − 11 = 9, que não são iguais, logo não é PA. As razões são 11/5 = 2,2 e 20/11 ≈ 1,82, que também não são iguais, logo não é PG. O erro comum é verificar apenas uma das duas condições (só a diferença ou só a razão) e concluir de forma precipitada.
Em uma PG com a₁ = 3 e razão q = 2, calcule a soma dos 8 primeiros termos (S₈).
Gabarito: C) 765
A soma dos n primeiros termos de uma PG finita é Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1). Assim, S₈ = 3 × (2⁸ − 1)/(2 − 1) = 3 × 255 = 765. O valor 768 corresponde ao erro comum de esquecer o "−1" no numerador, calculando apenas 3 × 2⁸.
Três números estão em PA crescente e sua soma é 18. Subtraindo 1 do primeiro número e somando 2 ao terceiro, mantendo o segundo número inalterado, os três números resultantes formam uma PG. Determine o maior dos três números originais.
Gabarito: E) 7
Sendo os termos (a − r, a, a + r), a soma 3a = 18 dá a = 6. A condição de PG é a² = (a − r − 1)(a + r + 2), ou seja, 36 = (5 − r)(8 + r). Expandindo e resolvendo, obtém-se r = 1 (PA crescente), formando os números originais (5, 6, 7) — que verificam: alterados, tornam-se (4, 6, 9), uma PG de razão 1,5. O maior número original é 7. O valor 6 corresponde ao erro de responder com o termo do meio da PA em vez do maior termo.
A população de uma cidade é de 10.000 habitantes e cresce 10% ao ano. Aproximadamente quantos habitantes essa cidade terá após 3 anos?
Gabarito: C) 13.310
O crescimento populacional composto forma uma PG: P = P₀·(1 + i)ᵗ = 10000 × (1,1)³ = 10000 × 1,331 = 13.310 habitantes. O valor 13.000 corresponde ao erro de aplicar crescimento linear (simples), calculando 10000 × (1 + 0,1 × 3), em vez de crescimento exponencial (composto).
Aqui você viu 12 das 50 questões do tópico. No Benshuu dá pra fazer todas, num simulado que sorteia primeiro o que você ainda erra, com correção na hora, XP e revisão dos erros.
BENSHUU