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Como resolver questões de Sequências (PA e PG)
Cobre progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termo geral, razão e soma de termos. Questões pedem para encontrar um termo específico, a razão da sequência ou a soma de um número de termos.
Conceitos-chave
- PA: termo geral
aₙ = a₁ + (n - 1)·r, onde r é a razão (diferença constante entre termos consecutivos) - Soma dos n primeiros termos de uma PA:
Sₙ = ((a₁ + aₙ)·n)/2 - PG: termo geral
aₙ = a₁ · q^(n - 1), onde q é a razão (quociente constante entre termos consecutivos) - Soma dos n primeiros termos de uma PG (
q ≠ 1):Sₙ = (a₁·(qⁿ - 1))/(q - 1) - Soma de PG infinita (só quando
|q| < 1):S = (a₁)/(1 - q) - A razão se calcula por:
r = aₙ - aₙ₋₁(PA) ouq = (aₙ)/(aₙ₋₁)(PG)
Passo a passo
- Verifique se a sequência tem diferença constante (PA) ou razão/quociente constante (PG) entre termos consecutivos.
- Identifique o primeiro termo (
a₁) e calcule a razão (rouq) a partir dos dados fornecidos. - Se a questão pede um termo específico, aplique a fórmula do termo geral, tomando cuidado com o expoente ou multiplicador
(n - 1), nãon. - Se a questão pede uma soma, escolha a fórmula de soma correta (PA ou PG) e substitua os valores.
- Releia o enunciado para confirmar exatamente o que foi pedido: um termo, a razão ou a soma.
- Confira o resultado com uma estimativa rápida (por exemplo, listando os primeiros termos).
Exemplo resolvido
Enunciado: Em uma progressão geométrica de primeiro termo a₁ = 3 e razão q = 2, qual é a soma dos 5 primeiros termos?
- Antes de aplicar a fórmula, é útil listar os termos para conferir a razão:
3, 6, 12, 24, 48— cada termo é o dobro do anterior, confirmandoq = 2. - Como
q ≠ 1, usa-se a fórmula da soma finita de PG:S₅ = (a₁·(q⁵ - 1))/(q - 1). - Substituindo os valores:
S₅ = (3·(2⁵ - 1))/(2 - 1). - Calculando a potência:
2⁵ = 32, então o numerador fica3·(32 - 1) = 3·31. - O denominador é
2 - 1 = 1, então basta calcular(3·31)/1 = 3·31. - Multiplicando:
S₅ = 93. - Conferindo pela lista de termos:
3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93, o que bate com o resultado da fórmula.
Resposta: 93
Dicas e pegadinhas
- Usar
nem vez de(n - 1)na fórmula do termo geral é o erro mais comum, tanto em PA quanto em PG. - Não misture as fórmulas: a soma de PA é linear (usa média dos extremos), a de PG usa potência da razão.
- Para usar a fórmula de soma de PG infinita, confirme antes que
|q| < 1— caso contrário a soma não converge. - Em PG com razão negativa, os termos alternam de sinal; confira o sinal de cada termo antes de somar.