12 questões abertas com gabarito e comentário (de 50 no banco do Benshuu). Toque numa alternativa pra ver se acertou, ou abra o gabarito direto.
Em uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a₁ = −3 e razão r = 4, qual é o valor do décimo primeiro termo (a₁₁)?
Gabarito: C) 37
Pelo termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)·r, temos a₁₁ = −3 + (11 − 1) × 4 = −3 + 40 = 37. Um erro comum é usar n = 11 em vez de (n − 1) = 10 na multiplicação, chegando a −3 + 44 = 41.
Em uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a₁ = 10 e razão r = −3, qual é o valor do sétimo termo (a₇)?
Gabarito: A) -8
Aplicando aₙ = a₁ + (n − 1)·r: a₇ = 10 + (7 − 1) × (−3) = 10 − 18 = −8. Um erro comum é usar n = 7 em vez de (n − 1) = 6, obtendo 10 − 21 = −11, ou esquecer o sinal negativo da razão.
Em uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a₁ = 7 e razão r = 5, qual é o valor do nono termo (a₉)?
Gabarito: E) 47
O termo geral de uma PA é aₙ = a₁ + (n − 1)·r. Assim, a₉ = 7 + (9 − 1) × 5 = 7 + 40 = 47. Um erro comum é usar n em vez de (n − 1) na fórmula, o que levaria a 7 + 9 × 5 = 52.
Considere a PA (4, 4, 4, 4, ...). Qual é o valor de a₂₀ e como essa PA é classificada?
Gabarito: E) a₂₀ = 4, constante
Como todos os termos são iguais, a razão é r = 0, o que caracteriza uma PA constante, e qualquer termo, inclusive a₂₀, vale 4. Um erro comum é multiplicar o valor do termo pela posição (4 × 20 = 80), confundindo com progressão geométrica ou com soma.
Em uma PA, sabe-se que a₁ = 6 e a₅ = 26. Qual é a razão r dessa progressão?
Gabarito: C) 5
Como a₅ = a₁ + 4r, temos 26 = 6 + 4r, logo r = 5. Um erro comum é dividir a diferença (26 − 6 = 20) por n = 5 em vez de (n − 1) = 4, obtendo r = 4.
Considere uma PG com a₁ = 2 e razão q = 3. Qual é a soma dos 6 primeiros termos (S₆)?
Gabarito: E) 728
A soma dos n primeiros termos de uma PG é Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1). Assim, S₆ = 2 × (3⁶ − 1)/(3 − 1) = 2 × 728/2 = 728. Um erro comum é esquecer de dividir por (q − 1), obtendo 2 × 728 = 1456.
Em uma PA, a₃ = 11 e a₇ = 27. Quais são o primeiro termo a₁ e a razão r dessa PA?
Gabarito: B) a₁ = 3, r = 4
Como a₇ − a₃ = 4r, temos 27 − 11 = 4r, logo r = 4. Substituindo em a₃ = a₁ + 2r: 11 = a₁ + 8, logo a₁ = 3. Um erro comum é calcular a₁ = a₃ − r (11 − 4 = 7), esquecendo que entre a₁ e a₃ há duas razões, não uma.
Deseja-se interpolar 3 meios geométricos positivos entre 2 e 32, formando uma PG. Qual é a razão q dessa PG?
Gabarito: A) 2
Com 3 meios entre os extremos, a PG tem 5 termos ao todo (3 + 2), com a₁ = 2 e a₅ = 32. Logo, q⁴ = 32/2 = 16, e q = 2. Um erro comum é usar o número de meios (3) como expoente em vez de (n − 1) = 4, calculando q³ = 16.
Considere uma PG infinita com a₁ = 8 e razão q = 1/2. Qual é a soma de todos os seus termos?
Gabarito: C) 16
Para uma PG infinita com |q| < 1, a soma é S = a₁/(1 − q). Assim, S = 8/(1 − 0,5) = 8/0,5 = 16. Um erro comum é somar em vez de subtrair no denominador, calculando 8/(1 + 0,5) ≈ 5,33.
A quantidade de bactérias em uma cultura forma uma PG, com a₁ = 5 (na 1ª hora) e razão q = 2 a cada hora seguinte. Qual é a soma das quantidades de bactérias nas 5 primeiras horas (S₅)?
Gabarito: B) 155
Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1), então S₅ = 5 × (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 5 × 31 = 155. Um erro comum é esquecer o '−1' no numerador, calculando 5 × 32 = 160.
Uma cidade tinha 40.000 habitantes e sua população cresce 5% ao ano, aproximando-se de uma PG de razão q = 1,05. Qual será a população ao final do 6º ano completo de crescimento (após 6 aumentos anuais)?
Gabarito: B) 53604
A população após n anos de crescimento composto é P = P₀ · qⁿ, então P = 40000 × (1,05)⁶ ≈ 40000 × 1,3401 ≈ 53604 habitantes. Um erro comum é aplicar juros simples em vez de crescimento composto, calculando P = 40000 × (1 + 0,05 × 6) = 52000.
A soma dos infinitos termos de uma PG é 27, e a soma dos infinitos termos de seus quadrados (a₁², a₂², a₃², ...) é 243. Sabendo que 0 < q < 1, determine o primeiro termo a₁.
Gabarito: A) 13,5
Usando 1 − q² = (1 − q)(1 + q), a razão entre as duas somas infinitas dá a₁/(1 + q) = 243/27 = 9. Combinando com a₁ = 27(1 − q), obtém-se q = 0,5 e a₁ = 13,5. Um erro comum é tratar a soma dos quadrados como o quadrado da soma (27² = 729), o que não corresponde à relação correta entre as duas séries.
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BENSHUU