BENSHUUMatemática
Como resolver questões de Trigonometria
Cobre razões trigonométricas no triângulo retângulo, ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) e as Leis dos Senos e dos Cossenos para resolver triângulos quaisquer.
Conceitos-chave
sen θ= cateto oposto/hipotenusa;cos θ= cateto adjacente/hipotenusa;tg θ= cateto oposto/cateto adjacente =(sen θ)/(cos θ)- Relação fundamental:
sen²θ + cos²θ = 1 - Ângulos notáveis:
sen30°=1/2,cos30°=(√(3))/2,sen45°=cos45°=(√(2))/2,sen60°=(√(3))/2,cos60°=1/2 - Lei dos Senos (triângulo qualquer):
a/senA = b/senB = c/senC = 2R - Lei dos Cossenos:
a² = b² + c² − 2bc·cosA(aé o lado oposto ao ânguloA) - Ângulos complementares:
sen(90°−θ) = cosθ
Passo a passo
- Identificar o tipo de triângulo: retângulo (usar razões trigonométricas básicas) ou qualquer (usar Lei dos Senos ou Lei dos Cossenos) — a presença de um ângulo de 90° é o sinal mais claro.
- Organizar os dados conhecidos (lados e ângulos) e o que é pedido, de preferência com um esboço da figura — isso evita confundir qual lado é oposto a qual ângulo.
- Se retângulo: escolher a razão (
sen,cosoutg) que relaciona o ângulo conhecido com o lado conhecido e o lado procurado. - Se não retângulo e o ângulo dado está ENTRE os dois lados conhecidos (ou se os três lados são conhecidos): usar a Lei dos Cossenos, pois ela relaciona os três lados a um único ângulo.
- Se não retângulo e for dado um lado e seu ângulo oposto, mais outro dado: usar a Lei dos Senos, que relaciona lados e senos dos ângulos opostos.
- Substituir os valores de ângulos notáveis quando aparecerem (
30°,45°,60°) e resolver a equação, isolando a incógnita passo a passo. - Conferir se o resultado é coerente: lado positivo e menor que a soma dos outros dois lados (desigualdade triangular).
Exemplo resolvido
Enunciado: Num triângulo ABC, os lados AB = 7 cm e AC = 5 cm formam entre si um ângulo A = 60°. Qual é a medida do lado BC?
BCé o lado oposto ao ânguloA, e conhecemos os dois lados que formam esse ângulo (ABeAC): esse padrão pede a Lei dos Cossenos.- A Lei dos Cossenos para o lado oposto ao ângulo
Aé:BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A). - Substituindo os valores conhecidos:
BC² = 7² + 5² − 2·7·5·cos60°. - Calculando os quadrados e o produto:
7² = 49,5² = 25e2·7·5 = 70. - Usando o ângulo notável
cos60° = 1/2:BC² = 49 + 25 − 70·1/2 = 74 − 35. - Logo
BC² = 39. - Extraindo a raiz:
BC = √(39) cm(39 = 3·13, não simplifica em radical mais simples, então deixamos na forma√(39)).
Resposta: BC = √(39) cm ≈ 6,24 cm
Dicas e pegadinhas
- Não use a Lei dos Senos quando o ângulo dado está entre os dois lados conhecidos — nesse caso é Lei dos Cossenos.
- No triângulo retângulo, o cateto oposto é o que fica 'de frente' para o ângulo considerado, não o que está encostado nele — troca comum entre oposto e adjacente.
- Memorize bem a tabela de ângulos notáveis; a troca mais comum é entre
sen30°/cos30°esen60°/cos60°. - Na Lei dos Senos, a proporção é lado sobre seno do ângulo OPOSTO a esse lado — não do ângulo adjacente a ele.