Questões de Trigonometria

Gabarito: B) -√3

120° está no 2º quadrante, onde a tangente é negativa. Como 120° = 180° − 60°, tg(120°) = −tg(60°) = −√3. Um erro comum é responder √3 esquecendo o sinal negativo do 2º quadrante.

Gabarito: D) 5π/6

150° · (π/180°) = 5π/6 rad. Um erro comum é simplificar de forma incorreta e chegar a 2π/3 (que corresponde a 120°) ou a π/3 (60°).

Gabarito: A) 5√3 cm

sen(60°) = √3/2, então o cateto oposto = 10 · (√3/2) = 5√3 cm ≈ 8,66 cm. A opção 5 cm corresponde ao valor de sen(30°) (metade da hipotenusa), e 5√2 cm surge de uma confusão com sen(45°) — trocas comuns entre ângulos notáveis.

Gabarito: B) 3/4

tg(θ) = cateto oposto/cateto adjacente = 6/8 = 3/4. A opção 4/3 é a tangente do ângulo complementar (erro de trocar cateto oposto por adjacente), enquanto 3/5 e 4/5 seriam, respectivamente, seno e cosseno desse ângulo (hipotenusa = 10, pelo triângulo 6-8-10).

Gabarito: C) 12/13

Pela relação fundamental sen²θ + cos²θ = 1: sen²θ = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169, logo sen(θ) = 12/13 (é o triângulo notável 5-12-13). A opção 5/12 troca numerador e denominador, um erro comum ao lidar com razões trigonométricas.

Gabarito: D) 4 m

A altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 53°: altura = 5 · sen(53°) = 5 · 0,8 = 4 m. A opção 3 m corresponde a usar cos(53°) por engano, calculando a projeção horizontal da escada no chão em vez da altura.

Gabarito: C) -1/2

120° está no 2º quadrante, onde o cosseno é negativo. Como 120° = 180° − 60°, temos cos(120°) = −cos(60°) = −1/2. A opção 1/2 é o erro comum de esquecer o sinal negativo do cosseno no 2º quadrante.

Gabarito: E) -√3

300° = 360° − 60°, no 4º quadrante, onde a tangente é negativa (sen negativo, cos positivo). Logo, tg(300°) = −tg(60°) = −√3. A opção √3 é o erro comum de esquecer o sinal negativo da tangente no 4º quadrante.

Gabarito: D) -1/2

210° = 180° + 30°, situado no 3º quadrante, onde o seno é negativo. Assim, sen(210°) = −sen(30°) = −1/2. A opção 1/2 é o erro comum de esquecer o sinal negativo do seno no 3º quadrante.

Gabarito: B) 1/2

5π/3 rad equivale a 300°, no 4º quadrante, onde o cosseno é positivo. Como 5π/3 = 2π − π/3, temos cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2. A opção -1/2 é o erro comum de esquecer que o cosseno é positivo no 4º quadrante.

Gabarito: D) -1/20

No 3º quadrante, cos(x) também é negativo: cos²x = 1 − 9/25 = 16/25, então cos(x) = −4/5. Logo tg(x) = sen(x)/cos(x) = (−3/5)/(−4/5) = 3/4 (positiva, como esperado no 3º quadrante). Assim, cos(x) + tg(x) = −4/5 + 3/4 = −16/20 + 15/20 = −1/20. A opção 1/20 corresponde ao erro comum de tomar cos(x) como positivo por engano.

Gabarito: C) π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4

2sen²x - 1 = 0 → sen²x = 1/2 → sen(x) = ±√2/2. O valor √2/2 (positivo) ocorre em π/4 e 3π/4; o valor -√2/2 (negativo) ocorre em 5π/4 e 7π/4. Logo, há quatro soluções. A opção 'π/4 e 3π/4, apenas' é o erro comum de esquecer que sen(x) também pode ser negativo, já que a equação envolve sen²x.